2022-2023学年河南省信阳市光山县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2,3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是( )
A. (−3,−2) B. (2,−3) C. (−2,−3) D. (−2,3)
3. 已知：关于x的一元二次方程x2−2mx=1−m2根的情况是( )
A. 两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 两个相等的实数根 D. 有一个实数根
4. 当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染(225人可以理解为三轮感染的总人数)，若设1人平均感染x人，依题意可列方程( )
A. 1+x+x(1+x)=225 B. 1+x2=225
C. 2(1+x)=225 D. 1+(1+x2)=225
6. 若M(−4,y1)，N(−3,y2)，P(1,y3)为二次函数y=x2+4x−5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
0；②2a+b<0；③b2−4ac>0；④a+b+c>0，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，菱形OABC的顶点O(0,0)，A(−2,0)，∠B=60°，若菱形绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形OA2020B2020C2020，那么点C2020的坐标是( )
A. (3,1) B. (1,−3) C. (−3,−1) D. (−1,3)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 一元二次方程x2−2=0的解为______．
12. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0,2)，这个二次函数的解析式可以是______．
13. 若关于x的二次函数y=kx2+2x−1与x轴有公共点，则实数k的取值范围为______ ．
14. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，F是DE中点，连接AF，则AF的长为 ．
15. 如图，△ABC是等边三角形，AB=23，点D在边AB上，且BD=1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF= ．
三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
解一元二次方程：x2−2x−8=0．
17. (本小题5.0分)
化简：a2−2aa2−1÷(1−3a+1)−1a−1．
18. (本小题9.0分)
已知：关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
(1)求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
19. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度：已知△ABC．
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
(2)以O为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2点的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得PB+PC最小，直接写出P点坐标及其最小值？
20. (本小题9.0分)
今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21. (本小题9.0分)
在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
(1)求实心球行进的高度y(米)与行进的水平距离x(米)之间的函数关系式；
(2)如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．
22. (本小题9.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
23. (本小题10.0分)
已知抛物线y=a(x−2)2+c(a>0)．
(1)若抛物线与直线y=mx+n交于(1,0)，(5,8)两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a(x−2)2+c>mx+n时自变量x的取值范围．
(2)若a=c，线段AB的两个端点坐标分别为A(0,3)，B(3,3)，当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
24. (本小题10.0分)
(1)探究发现：
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°.求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形
∴∠APP′=60° PA=PP′，PC=______
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P2+BP2=______
即PA2+PB2=PC2
(2)类比延伸：
如图②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．
(3)联想拓展：
如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足(kPA)2+PB2=PC2，请直接写出k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】D
【解析】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2,3)，
∴点P的坐标是(2,−3)．
∴点P关于原点的对称点P2的坐标是(−2,3).故选D．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)．
考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=1，b=−2m，c=m2−1，
∴Δ=b2−4ac=(2m)2−4×1×(m2−1)=4>0．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据方程的系数结合Δ=b2−4ac，可得出Δ=b2−4ac=(2m)2−4×1×(m2−1)=4>0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，ab>0，则a、b同号，
当a>0时，b>0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a<0时，b<0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
根据题意，ab>0，则a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
5.【答案】A
【解析】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：1+x+(1+x)x=225，
故选：A．
此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染(x+1)人，第二轮共感染x(x+1)+x+1=(x+1)(x+1)人，根据题意列方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵y=x2+4x−5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−42=−2，
∴与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
∵−2−(−3)<−2−(−4)<1−(−2)，
∴y2
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