2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷 1. 下列图形中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 二次函数y=3x2+2x+c与y轴的交点坐标是(0,2c−1)，则c=(    ) A. 1 B. 2 C. 13 D. −1 3. 关于x的一元二次方程x2+mx−1=0的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 著x=m是方程x2+2x−1=0的一个根，则2m2+4m−3=(    ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 2 5. 二次函数y=(x−2)(x−4)+6的顶点坐标是(    ) A. (2,6) B. (4,6) C. (3,−5) D. (3,5) 6. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax=b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+2x−4=0的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片ABCD，先折出AB，CD的中点E，F，再沿过点B的直线折叠，使点A落在线段BF上(即H处)，折痕为BG，点G在边AD上，连接GH，GF，则长度恰好是方程x2+2x−4=0的一个正根的线段为(    ) A. GA B. GD C. GF D. FC 7. 某一元二次方程的两个实数根为x1=x2=−4，则该一元二次方程可以是______． 8. 如图，将其绕着某点旋转α(0°<α<180°)，能与自身重合，则α=______°. 9. 抛物线y=x2−2x+1向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式为______． 10. 抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是______ ． 11. 直线y=x+1绕着点(−1,0)顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为______． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，D，E分别是AC，AB的中点．将线段DE绕着点E逆时针能转角α(0°<α≤180°)得到线段ED′，连接BD′，若△D′BE是直角三角形，则α=______°. 13. (1)解一元二次方程：x2+x=0； (2)用配方法将二次函数y=2x2+4x−6化成y=a(x−h)2+k的形式． 14. 为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动．参加这次米粉展销会的每两家公司之间都签订了一份合同，若所有x家公司共签订了y份合同． (1)写出y与x的关系式； (2)当所有公司共签订了55份合同时，求参加此次展销会的公司的数量． 15. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−1,0)，(3,0)． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线最高点到x轴的距离为4.求该抛物线的解析式． 16. 活动；在平面直角坐标系中，把点P(x,y)绕着原点顺时针腚转90°得到点Q(m,n)． (1)填表： P(x,y) (1,0) (2,4) (−3,−5) Q(m,n) (0,−1) (−5,3) (−1,−6) (2)发现：用x，y表示Q点坐标． 17. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=FC=CE，线段AF与线段CD关于点O对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图1中画出点O； (2)在图2中画线段OM，使OM//AF且OM=12AF． 18. 如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△A′BC′，若点C′恰好落在边AC上，A′B//AC． (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)连接AA′，已知AC=4cm，当α=30°时．求四边形AA′BC的面积． 19. 勾变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v−(初始速度与末速度的算术平均数)与路程s，时间t的关系为s=v−⋅t.现有一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5m约用了多少秒(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41)？ 20. 如图1，是某种音乐喷泉，其形状如抛物线，图2是它的示意图，喷头A到地面BC的距离AO为5m，抛物线AEB与AFC关于AO对称，点D在抛物线AFC的最高处，离地面BC的距离为6m.到AO的距离为1m，已知喷泉的落地点中，B，C间距离最远． (1)请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式； (2)要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须满足什么条件？ 21. [课本再现] (1)我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图1，是4×4正方形网格，A，D，C均是格点，B，E分别在CD和AC上，∠ACB=90°，△ABC≌△DEC，请你判断△ABC是通过怎样的变换得到△DEC的？填：______． [深入探究] (2)在图1中，AB与网格线的交点用F表示，连接CF，如图2，探究CF与DE的关系； [柘展延伸] (3)将图2中的点B，E绕着点C同时旋转得到点B′，E′，连接AB′，DE′，作AB′的中点F′，连接CF′，如图3，猜想CF′与DE′的关系，并进行证明． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2.【答案】A  【解析】解：∵二次函数y=3x2+2x+c， ∴当x=0时，y=c， ∵二次函数y=3x2+2x+c与y轴的交点坐标是(0,2c−1)， ∴c=2c−1， ∴c=1 故选：A． 令x=0，求出相应的y的值，得到抛物线y=3x2+2x+c与y轴的交点坐标，进而即可得到c=2c−1，解得即可． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴交点，就是求出当x=0时y的值． 3.【答案】B  【解析】解：∵Δ=m2−4×1×(−1)=m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解答此题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：∵x=m是方程x2+2x−1=0的一个根， ∴m2+2m−1=0， ∴m2+2m=1， ∴2m2+4m−3=2(m2+2m)−3=2×1−3=−1． 故选：B． 先根据一元二次方程根的定义得到m2+2m=1，再把2m2+4m−3变形为2(m2+2m)−3，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5.【答案】D  【解析】解：∵二次函数可化为y=(x−3)2+5， ∴二次函数y=(x−2)(x−4)+6的顶点坐标是(3,5)， 故选：D． 把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论． 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：设GD=m，则GC=2−m， 由折叠的性质可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点， ∴GD=GH=m，FC=1， 根据勾股定理得：AF=22+12=5， ∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF， ∴2×2=12×2×1+12×2×m+12×1×(2−m)+12×5×m， 解得：m=5−1， ∵x2+2x−4=0的解为：x=−1±5， ∴取正值为x=5−1， ∴这条线段是线段GD． 故选：B． 设GD=m，则GC=2−m，由折叠的性质可知△ADG≌△AHG，F是BC的中点，则GD=GH=m，FC=1，再由勾股定理得AF=5，然后由S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，求出m=5−1，即可解决问题． 此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 7.【答案】x2+8x+16=0  【解析】解：∵x1=x2=−4， ∴x1+x2=−8，x1x2=16， ∴以x1、x2为根的一元二次方程可以为x2+8x+16=0． 故答案为：x2+8x+16=0． 先计算出x1+x2=−8，x1x2=16，然后利用根与系数的关系写出二次项系数为1的一元二次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca． 8.【答案】120  【解析】解：如图： 由题意，360°3=120°， 故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为120°， 故答案为：120． 根据旋转对称图形的性质判断即可． 本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，求出中心角是解题的关键． 9.【答案】y=(x−1)2−1  【解析】解：抛物线y=x2−2x+1=(x−1)2，它的顶点坐标是(1,0)． 将其向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式的顶点坐标是(1,−1)， 所以新抛物线的解析式是：y=(x−1)2−1． 故答案是：y=(x−1)2−1． 根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 10.【答案】−1≤x≤3  【解析】解：(−1,0)关于x=1的对称点是(3,0)． 则x的取值范围是：−1≤x≤3． 故答案是：−1≤x≤3． 首先求得(−1,0)关于x=1的对称点，求y≥0时x的取值范围，就是函数图象在x轴上或在x轴上边时对应的x的范围． 本题考查了二次函数与不等式的解集的关系，理解y≥0时x的取值范围，就是函数图象在x轴上或在x轴上边时对应的x的范围是关键． 11.【答案】y=0  【解析】解：∵直线y=x+1中k=1， ∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°， ∴直线y=x+1绕着点(−1,0)顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为y=0， 故答案为：y=0． 由直线解析式即可求得直线y=x+1与x轴的夹角为45°，故直线y=x+1绕着点(−1,0)顺时针旋转45°后得到直线y=0． 本题考查了一次函数图象与几何变换，明确直线l与x轴重合是解题的关键． 12.【答案】60°或90  【解析】解：如图，∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=90°−∠A=90°−60°=30°， ∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE/​/BC， ∴∠ED′B=∠DED′=α， 分两种情况： ①当∠D′EB=90°时，∠ED′B=90°−∠B=90°−30°=60°； ②当∠ED′B=90°时，α=90°； 综上所述，α=60°或90°， 故答案为：60°或90． 由直角三角形的性质得∠B=90°−∠A=90°−60°=30°，再由三角形中位线定