2022-2023学年江西省上饶市余干县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程属于一元二次方程的是( )
A. x2−2x2=3 B. ax2+bx+c=0
C. (x−1)2+3=0 D. (2x+1)2−5=4y2
2. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3. 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A. xy+x2=1 B. x2+y−2=0 C. y2−ax=−2 D. x2−y2+1=0
4. 若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1 B. k<1且k≠0 C. k≠1 D. k>1
5. 抛物线y=−2(x−1)2−1可由抛物线y=−2(x+2)2+3平移得到，那么平移的步骤是( )
A. 右移3个单位长度，再下移4个单位长度 B. 右移3个单位长度，再上移4个单位长度
C. 左移3个单位长度，再下移4个单位长度 D. 左移3个单位长度，再上移4个单位长度
6. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b
0；④b2−4ac>0；其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 方程x(x−3)=0的根是：______．
8. 抛物线y=3(x−2)2+5的顶点坐标是______ ．
9. 在平面直角坐标系中，已知点P(−3,5)与点Q(3,m−2)关于原点对称，则m= ．
10. 平面直角坐标系上的三个点O(0,0)，A(−1,1)，B(−1,0)，将△ABO绕点O按顺时针旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1______，B1______．
11. 设x1，x2是一元一次方程2x2−3x−10=0的两根，2x12−3x1+x1x2=______．
12. 如图，在边长为63的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点.若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
用适当的方法解下列方程
(1)x2−6x+4=0．
(2)(x−3)2=2x(3−x)．
14. (本小题6.0分)
抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题：
(1)点A，B的坐标分别是A ______，B ______；
(2)若函数值y>0，则x的取值范围是______；
(3)函数值y的最小值是______；
15. (本小题6.0分)
解方程：x(x−5)=5−x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x(x−5)=−(x−5)，
方程两边同时除以x−5，得x=−1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
16. (本小题6.0分)
请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图．
(1)如图1，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的中点，以EF为边画一个矩形；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点(BE>DE)，以AE为边画一个菱形．
17. (本小题6.0分)
抛物线的顶点为(−1,−5)，且过点(2,−17)，求它的函数解析式．
18. (本小题8.0分)
某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(2)商场利润能否达到6200元，若能，请求出每千克应涨价多少元；若不能，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
20. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
(1)旋转△ADF可得到哪个三角形？
(2)旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
(3)BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
21. (本小题9.0分)
为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x(元/千克)的范围为：20≤x≤50，日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
(3)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为______元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是______元．
22. (本小题9.0分)
如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m．
(1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离(即线段OB的长)；
(2)距离OA水平距离多远的E点处，放置高为3.5m的景观射灯EF使水流刚好到点F？
(3)若不改变(1)中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内(不考虑边宽)，则此时水管OA的高度为多少？
23. (本小题12.0分)
综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P.探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．
数学思考
(1)请你在图1中证明AP⊥BF；
特例探究
(2)如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP=2BP；
类比再探
(3)请判断(2)的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该方程是分式方程，故该选项不符合题意；
B、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
D、该方程是二元二次方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、变形得y=1−x2x，不是二次函数，错误；
B、由x2+y−2=0，得y=−x2+2，是二次函数，正确；
C、y的指数是2，y不是x的二次函数，错误；
D、y的指数是2，y不是x的二次函数，错误．
故选：B．
整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
解题关键是掌握二次函数的定义．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=(−6)2−4×k×9>0，
解得k<1且k≠0．
故选：B．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(−6)2−4×k×9>0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：函数y=−2(x−1)2−1的图象可由函数y=−2(x+2)2+3的图象平移得到，那么平移的步骤是右移3个单位，下移4个单位，
故选：A．
根据图象的平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a>0．
当x=0时，y=c>0，
∴abc<0，①错误；
②当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴b>a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=2时与x=0时，y值相等，
∵当x=0时，y=c>0，
∴4a+2b+c=c>0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0，
∴△=b2−4ac>0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
由抛物线的开口方程、抛物线的对称轴以及当x=0时的y值，即可得出a、b、c的正负，进而即可得出①错误；由x=−1时，y<0，即可得出a−b+c<0，进而即可得出②错误；由抛物线的对称轴为x=1结合x=0时y>0，即可得出当x=2时y>0，进而得出4a+2b+c=c>0，③成立；由二次函数图象与x轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出△=b2−4ac>0，④成立．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据给定二次函数的图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
7.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3，
故答案为：x1=0，x2=3．
两个数的乘积为零，则其中一个为零，由此即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8.【答案】(2,5)
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)．
由于抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，由此即可求解．
【解答】
解：∵抛物线y=3(x−2)2+5，
∴顶点坐标为：(2,5)．
故答案为：(2,5)．
9.【答案】−3
【解析】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m−2=−5，
∴m=−3．
故答案为：−3．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点对称时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点的坐标特征．
10.【答案】(2,0) (22