2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是( )
A. “抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件
B. “抽出的图形是六边形”属于随机事件
C. 抽出的图形为四边形的概率是25
D. 抽出的图形为轴对称图形的概率是35
2. 如果，AB是⊙O的弦，半径为OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为( )
A. 25
B. 32
C. 23
D. 22
3. 用配方法解方程x2−4x−3=0，下列配方结果正确的是( )
A. (x−4)2=19
B. (x+2)2=7
C. (x−2)2=7
D. (x+4)2=19
4. 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为( )
A. 34π B. 32π C. 34 D. 32
5. 对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为( )
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
6. 如图，在⊙O中，AB是弦，∠E=30°，半径为4，OE=6.则AB的长( )
A. 7 B. 5 C. 27 D. 25
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c(a≠0)和二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为( )
A. C1>C2 B. C1
0的解集是______．
15. 当−2≤x≤1时，二次函数y=(x+m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．
16. 如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为22cm，则图中的阴影部分的面积是______ cm2(用π表示)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解下列方程
(1)x2+x−1=0
(2)x(x−2)+x−2=0．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
如图，已知点A，B的坐标分别为(0,0)，(4,0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
(1)画出△AB′C′；
(2)点C′的坐标______ ．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
(1)连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由．
21. (本小题10.0分)
在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2).
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
(3)根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
22. (本小题12.0分)
为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：(1)甲公司施工单价y1(万元/米)与施工长度x(米)之间的函数关系为y1=27.8−0.09x，(2)乙公司施工单价y2(万元/米)与施工长度x(米)之间的函数关系为y2=15.8−0.05x．
(注：工程款=施工单价×施工长度)
(1)如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款多少万元？
(2)考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元(从工程款中扣除)．
①如果设甲公司施工a米(00)
(1)写出A、B、D三点的坐标；
(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆中四边形是平行四边形、矩形，
所以抽出的图形为四边形的概率是25，
故选：C．
由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆，其中抽出的图形为四边形的概率利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
2.【答案】C
【解析】解：如图：
过点O作OC⊥AB于C，则AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°．
在直角△AOC中，sin60°=ACAO，
∴AC=AOsin60°=2×32=3．
AB=2AC=23．
故选：C．
过点O作AB的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到AB的长．
本题主要考查了垂径定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2−4x=3，
∴x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=7，
故选：C．
移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设底面圆的半径为r，则：
2πr=90π×3180=32π.
∴r=34，
∴圆锥的底面周长为32π，
故选：B．
根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．
本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的关系求出底面圆的半径．
5.【答案】D
【解析】解：∵1☆x=2，
∴1⋅x2−1⋅x=2，
∴x2−x−2=0，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−2)=9>0，
∴方程1☆x=2有两个不相等的实数根．
故选：D．
根据运算“☆”的定义将方程1☆x=2转化为一般式，由根的判别式Δ=9>0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵∠E=30°，OE=6，
∴OC=12OC=3，
∴BC=OB2−OC2=42−32=7，
∴AB=2BC=27．
故选：C．
作OC⊥AB于点C，连接OB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得OC=3，根据勾股定理可得BC的长，再根据垂径定理可得AB的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由一次函数的图象可知a>0 c>0，由二次函数的图象可知a<0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a<0 c>0，由二次函数的图象可知a<0，c>0，两者相吻合；
C、由一次函数的图象可知a<0 c<0，由二次函数的图象可知a>0，两者相矛盾；
D、由一次函数的图象可知a<0 c>0，由二次函数的图象可知a>0，两者相矛盾．
故选：B．
本题可先由一次函数y=ax+ca≠0图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+ca≠0的图象相比较看是否一致．反之也可．
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
8.【答案】A
【解析】解：连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，
∵CB与⊙O相切，
∴OF⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠C=90°，
∴FE⊥AD，
∴四边形EFCD为矩形，AE=DE，
∴EF=CD，
设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF=R，
∴OE=x−R，
在Rt△ODE中，OE2+ED2=OD2，
即(x−R)2+(x2)2=R2，
解得R=58x.
∴正方形ABCD的周长C1=4x，⊙O的周长C2=2πR=2π⋅58x=5π4x，
∵4>5π4，
