2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 4x+2=25−5x B. x2+2x−1=0
C. x+y2=0 D. xx+2=4
2. 将一元二次方程3x2−8x=10化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. −3，8，−10 B. 3，−8，10 C. −3，−8，10 D. 3，−8，−10
3. 一元二次方程x2+6x+4=0可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为x+3=5，则另一个一元一次方程为( )
A. x−3=5 B. x+3=5 C. x+3=−5 D. x+3=−5
4. 用配方法解方程x2−10x+9=0时，配方所得的方程为( )
A. (x−5)2=16 B. (x−5)2=−16 C. (x+5)2=16 D. (x−10)2=−16
5. 一元二次方程5x2−3x=x+1的实数根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
6. 已知关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=−2，x2=3，则原方程可化为( )
A. (x−2)(x−3)=0 B. (x+2)(x+3)=0
C. (x−2)(x+3)=0 D. (x+2)(x−3)=0
7. 方程x2+x=5x+6的两个实数根的和与积分别是( )
A. −5，6 B. −4，6 C. 4，−6 D. −1，6
8. 若点A(−1,y1)，B(0,y2)，C(1,y3)都在二次函数y=2x2+x−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2
0；②a+b=3；③抛物线经过点(−1,0)；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标为______．
14. 二次函数y=x2−4x的最小值为______．
15. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是______ .(写出一个即可)
16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=______s.
17. 设x1，x2是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则x12+x22的值为______．
18. 如图，△A′B′C′是由△ABC绕点O逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点O，并简要说明点O的位置是如何找到的(保留作图痕迹) ______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解下列关于x的方程．
(1)(2x+1)2−9=0；
(2)x2−5x+2=0．
20. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2,−4)，B(0,−4)，C(1,−1)．
(1)请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(2)请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0(m为常数)．
(1)若x=2是该方程的一个实数根，求m的值；
(2)当m=3时，求该方程的实数根；
(3)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
22. (本小题8.0分)
已知二次函数y=−x2+2x+1的图象为抛物线C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当0≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为C′.请直接写出抛物线C′的函数解析式．
23. (本小题8.0分)
为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
24. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN．
(1)如图①，当∠B=50°时，求∠MAN的大小；
(2)如图②，当AB//NC时，求∠B的大小；
(3)如图③，求证：∠AMN=∠ACN．
25. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，其对称轴为x=2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②P是抛物线上的动点，当PA−PB取得最大值时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，为分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
本题考查了一元二次方程．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：将一元二次方程3x2−8x=10化为一般形式为3x2−8x−10=0，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，−8，−10．
故选：D．
根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
3.【答案】C
【解析】解：x2+6x+4=0，
x2+6x=−4，
x2+6x+9=−4+9，
(x+3)2=5，
x+3=±5，
x+3=5或x+3=−5，
故选：C．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：x2−10x+9=0，
x2−10x=−9，
x2−10x+25=−9+25，
(x−5)2=16，
故选：A．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：将原方程化成一般形式5x2−4x−1=0，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×5×(−1)=36>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
将原方程转化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=36>0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=−2，x2=3，
∴−2+3=−p，−2×3=q，
∴p=−1，q=−6，
∴原方程可化为(x+2)(x−3)=0．
故选：D．
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
7.【答案】C
【解析】解：方程x2+x=5x+6整理得：x2−4x−6=0
设x1，x2是一元二次方程x2−4x−6=0的两根，
则x1+x2=4，x1⋅x2=−6．
故选：C．
利用根与系数的关系求解即可．
本题主要考查了根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
8.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=2x2+x−1，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=−12×2=−14．
∵点A(−1,y1)，B(0,y2)，C(1,y3)都在二次函数y=2x2+x−1的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：C、A、B，
∴y2
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