山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题含答案

山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合，，则 A. B. C. D. 2.在复平面内，对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表： 月份代码 1 2 3 4 5 销售量（万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.5 由上表可知其线性回归方程为，则的值是 A.0.28 B.0.32 C.0.56 D.0.64 4.已知，则的值为 A. B. C. D. 5.的展开式中，的系数是 A.5 B.15 C.20 D.25 6.已知函数（，），若在区间内没有零点，则的最大值是 A. B. C. D. 7.在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是 A. B. C. D. 8.设，，，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知，，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 10.已知点，均在圆外，则下列表述正确的有 A.实数的取值范围是 B. C.直线与圆不可能相切 D.若圆上存在唯一点满足，则的值是 11.已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立，，，，则下列说法正确的是 A.函数在区间上单调递减 B.函数的图象关于直线对称 C. D.函数在处取到最大值 12.已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，为坐标原点，若的面积为4，则下列说法正确的是 A.弦的中点坐标为 B.直线的倾斜角为30°或150° C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则____________. 14.已知向量，满足，，则_____________. 15.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是________________. 16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是________________. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 18.（本小题满分12分）某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资. （1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有2名维修工人. （ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望； （ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 19.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，.已知点在边上（不含端点），. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，，且过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程. 22.（本小题满分12分）已知函数. （1）若函数的最小值为，求的值； （2）若存在，且，使得，求的取值范围. 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.D ，故，所以.故选D. 2.C ，故对应的点为，位于第三象限.故选C. 3.A 由表中数据可得，，将代入，即，解得.故选A. 4.A 由，得，所以，所以，所以，所以.故选A. 5.B 因为，的展开式通项为，的展开式通项为，由可得因此的展开式中，的系数为.故选B. 6.C ，令，，.又函数在区间内没有零点，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是.故选C. 7.D 连接交于点，取的中点，连接，.不妨设.因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以.所以直线与直线所成角即为（或其补角）.因为平面，又，平面，所以，.在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直线与直线所成角的余弦值是.故选D. 8.B 令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，即.令，，易得在上单调递增，所以，即，即，所以，所以.故选B. 9.BD 由不等式的基本性质，可得A错误，B正确；取，，则，从而，则C错误；因为，所以幂函数在上是增函数，则由，即得，则D正确.故选BD. 10.ABD 据题设分析知，，，当时，直线与圆相切.∵，∴点在以线段为直径的圆上.又，，∴点在圆上.又∵点在圆上，点，均在圆外，∴圆与圆外切，且点为切点，∴，∴.故选ABD. 11.BC 根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称；又由对任意，且都有成立，所以函数在上为增函数，函数在上为减函数，所以在处取得最小值；，，，又由函数的图象关于直线对称，，易知，所以.故选BC. 12.BCD 设直线的方程为，联立，消去并整理得，则，，又，所以，解得，所以直线的倾斜角为30°或150°，，弦的中点坐标为，即，.故选BCD. 13.3 由已知得，因为，所以. 14. 因为，所以，所以，即，则，所以. 15. 如图，将三棱锥放入长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为，，，则，解得，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以.所以三棱锥的外接球的表面积. 16. 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则，，解得，，如图： 在中，根据余弦定理可得，整理得，即，设，，则有，，所以，即有，所以，所以，设，则，且，所以，因为在上单调递减，所以，所以. 17.（1）解：当时，，即； 当时，由，得，两式相减得. 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以. （2）证明：由（1）知， 所以，， 两式相减得， 所以.又，所以. 18.解：（1）因为该厂只有1名维修工人， 所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障， 故该工厂能正常运行的概率为. （2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58， ， ， ， 则的分布列为 34 46 58 故. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元. 因为，所以该厂应再招聘1名维修工人. 19.（1）证明：若时，则点与点重合，不满足题意，故， 因为，所以， 所以，由正弦定理及余弦定理得， 即，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）解：由及，，得， 由（1）知，所以，所以， 整理得，令得：， 即，解得，，（舍去）， 由，得，而舍去，故 所以. 20.（1）证明：取的中点，连结，. 则，且，，且. 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，， 所以，. 因为，所以，所以. 又，， 设平面的一个法向量， 则所以， 令，则，，所以； 又平面的一个法向量，所以， 所以，解得，所以. 又，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 21.（1）解：因为，所以，解得. 因为过点，所以，解得. 所以的方程为. （2）证明：设，，所以，. 由，整理得 则，解得且，，. 由得 ， 所以点在定直线上. 22.解：（1）由题意知函数的定义域为，. 当时，在上恒成立，故在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 所以，即.设，则， 所以为上的增函数，又，所以. （2）由，得，即， 又，所以，得. 令，则，令， 故问题可转化为函数在区间上有零点. ，其中. 因为函数的对称轴的方程为，且当时，， 故当，则在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，因为，所以，故在区间上无零点，不合题意. 当，令，得，，故有两不等实根和， 设，且，.故. 易知在上，，在上，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，故在上，故在上无零点； 下面证明函数在减区间上存在零点. 取，则， 当时，，则. 令，则， 令，当时，， 所以，函数在上单调递减，又，所以，即在上恒成立. 所以在上单调递减，所以，即， 又，所以，所以在减区间上存在零点. 综上，实数的取值范围是.