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第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
一.解答题(共16小题)
1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别是、.
(1)若△为等边三角形,求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆的短轴长为2,过点的直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,求直线的方程.
2.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,,若轴是的角平分线,证明直线过定点.
3.设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点且为原点),求直线的斜率.
4.已知椭圆,抛物线,点,斜率为的直线交抛物线于、两点,且,经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点.
(1)若抛物线的准线经过点,求抛物线的标准方程和焦点坐标:
(2)是否存在,使得四边形的面积取得最大值?若存在,请求出这个最大值及的值;若不存在,请说明理由.
5.已知椭圆过点,左右焦点分别为,,且线段与轴的交点恰好为线段的中点,为坐标原点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于,两点,求当的面积最大时直线的方程.
6.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于,两点(不同于点,记直线,的斜率分别为,,试判断是否存在定值,使当变化时总成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
7.如图,已知椭圆经过点,离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是经过右焦点的任一弦(不经过点,直线与直线相交于点,记,,的斜率分别为,,,求证:,,成等差数列.
8.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上,直线的斜率为,直线被圆截得的线段的长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线为原点)的斜率的取值范围.
9.已知抛物线的焦点为,是抛物线上一点,且在第一象限,满足,
(1)求抛物线的方程;
(2)已知经过点的直线交抛物线于,两点,经过定点和的直线与抛物线交于另一点,问直线是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.
10.设直线与抛物线相交于不同两点、,与圆相切于点,且为线段的中点.
(1)若是正三角形为坐标原点),求此三角形的边长;
(2)若,求直线的方程;
(3)试对进行讨论,请你写出符合条件的直线的条数(只需直接写出结果)
11.如图,已知椭圆与圆在第一象限相交于点,椭圆的左、右焦点,都在圆上,且线段为圆的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于,两点,且直线与轴相交于点,为线段的中点,为坐标原点,若,求的最大值.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)与抛物线相切于第一象限的直线,与椭圆交于,两点,与轴交于点,线段的垂直平分线与轴交于点,求直线斜率的最小值.
13.已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆交于,两点,线段的中点为,直线与直线的交点为.判断是否为定值.若是,求出这个定值,若不是,说明理由.
14.下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索,现邀请你一起合作学习,请你思考后,将答案补充完整.
(1)圆上点,处的切线方程为 .理由如下: .
(2)椭圆上一点,处的切线方程为;
(3)是椭圆外一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,如图,则直线的方程是 .这是因为在,,,两点处,椭圆的切线方程为和.两切线都过点,所以得到了和,由这两个“同构方程”得到了直线的方程;
(4)问题(3)中两切线,斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为,由,得,
化简得△得.
若,则由这个方程可知点一定在一个圆上,这个圆的方程为 .
(5)抛物线上一点,处的切线方程为;
(6)抛物线,过焦点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,作抛物线的两条切线和,设,,,,则直线的方程为.直线的方程为,设和相交于点.则①点在以线段为直径的圆上;②点在抛物线的准线上.
15.如图1,在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,,为椭圆的左右顶点,、是左、右焦点.
(1)已知椭圆内有一点,在椭圆上有一动点,则求的最大值和最小值分别是多少?
(2)如图1,若直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点,设过点垂直于的直线为.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
(3)如图2,若直线过左焦点交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点,求证:以线段为直径的圆恒过两个定点.
(4)如图3,若,是椭圆上关于原点对称的两点,点是椭圆上除,外的任意一点,当直线,的斜率都存在,并记为为定值.
(5)如图4,若动直线与椭圆有且只有一个公共点,点,是直线上的两点,且,,求四边形面积的最大值.
(6)如图5,若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于,两点.试探究:线段上是否存在点使得,若存在,求出实数的取值范围,若不存在,说明理由.
(7)如图6,若点为抛物线上的动点,设为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的?①点在椭圆上;②点为的重心,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
16.已知直线与抛物线交于,、两点,过点与直线垂直的直线交抛物线于点,.如图所示.
(1)求抛物线的焦点坐标;
(2)求经过、两点的直线与轴交点的坐标;
(3)过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.
第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一.解答题(共16小题)
1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别是、.
(1)若△为等边三角形,求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆的短轴长为2,过点的直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,求直线的方程.
【解答】解:(1)椭圆的两个焦点分别为、,
短轴的两个端点分别是、,△为等边三角形,
,解得,
椭圆的标准方程为.
(2)椭圆的短轴长为2,椭圆的两个焦点分别为、,
椭圆的标准方程为,
过点直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,
当直线的斜率不存在时,直线为,此时以为直径的圆不经过点,不成立;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由,得.
设,,,,则
,,
,,,,
过点的直线与椭圆相交于、两点,且以为直径的圆经过点,
,,
,解得,即.
故直线的方程为或.
2.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,,若轴是的角平分线,证明直线过定点.
【解答】解:(Ⅰ)设圆心,,过点作 轴,垂足为,则,
,
,化为.
当时,也满足上式.
动圆圆心的轨迹的方程为.
(Ⅱ)设,,,
由题意可知,,.
轴是的角平分线,,
,,化为.
直线的方程为,
,化为,
化为,
,令,则,
直线过定点
3.设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点且为原点),求直线的斜率.
【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为,
依题意,,
又,可得,,,
所以,椭圆的方程为.
(2)由题意,设,,,,
设直线的斜率为,
又,则直线的方程为,
与椭圆方程联立整理得,
可得,代入得,
进而直线的斜率,
在中,令,得,即,
所以直线的斜率为,
由,得,化简得,
从而.
所以,直线的斜率为或.
4.已知椭圆,抛物线,点,斜率为的直线交抛物线于、两点,且,经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点.
(1)若抛物线的准线经过点,求抛物线的标准方程和焦点坐标:
(2)是否存在,使得四边形的面积取得最大值?若存在,请求出这个最大值及的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)抛物线的准线方程,焦点坐标,
则,抛物线的标准方程为,焦点.
(2)设,,,,,,,,
由,得点在直线上,且,
且四边形的面积.
,
由,得,
则,
,
因为,所以,
由,的斜率分别为,由图知必过点,
可设,且,
故直线,令,
则直线,代入椭圆方程,
得,
,
,
点 到的距离,
四边形的面积,
当且仅当时,面积最大为.
5.已知椭圆过点,左右焦点分别为,,且线段与轴的交点恰好为线段的中点,为坐标原点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于,两点,求当的面积最大时直线的方程.
【解答】解:(1)由椭圆过点,则,①
连接,由为线段的中点,为线段的中点,
则,则,
由,②
由①②得,,
则椭圆的离心率;
(2)由(1)椭圆与方程,直线的斜率,
不妨设直线的方程,设,,,,
,整理得:,
则△,解得:,
,,
,
由到的距离,
则的面积,
当且仅当时,取等号,即,
则直线的方程.
6.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于,两点(不同于点,记直线,的斜率分别为,,试判断是否存在定值,使当变化时总成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)因为椭圆的离心率为,则①,
又过点,所以,解得,
由①可得,
所以椭圆的标准方程为;
(2)由(1)可知,点,设,,,,
联立方程组,可得,
所以,
所以,
,
因为,所以,
整理可得,,
所以,
化简整理可得,,
解得或,
若,则过点,则,与点重合,不符合题意,
所以,
故存在定值,使当变化时总成立.
7.如图,已知椭圆经过点,离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是经过右焦点的任一弦(不经过点,直线与直线相交于点,记,,的斜率分别为,,,求证:,,成等差数列.
【解答】解:(Ⅰ)由点在椭圆上得,①②
由①②得,,,
故椭圆的标准方程为.(4分)
(Ⅱ)证明:椭圆右焦点坐标,显然直线斜率存在,
设的斜率为,则直线的方程为③.(5分)
代入椭圆方程,
整理得.(6分)
设,,,,
则有④.(7分)
在方程③中,令得,,从而,,.(9分)
又因为、、共线,则有,
即有,
所以
⑤
将④代入⑤得,(12分)
又,
所以,即,,成等差数列..(13分)
8.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上,直线的斜率为,直线被圆截得的线段的长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线为原点)的斜率的取值范围.
【解答】解:(1)由已知有,又,可得,
设直线的方程为,由圆心到直线的距离公式可得,,
故所求的椭圆方程为;
(2)设点的坐标为,直线的斜率为,
联立消去整理,
可解得或.
再设直线的斜率为,
再联立
①当时,故得
②当时,故得
综上直线的斜率的取值范围.
9.已知抛物线的焦点为,是抛物线上一点,且在第一象限,满足,
(1)求抛物线的方程;
(2)已知经过点的直线交抛物线于,两点,经过定点和的直线与抛物线交于另一点,问直线是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.
【解答】解:(1)由抛物线的方程可得焦点,,满足,的的坐标为,,在抛物线上,
所以,即,,解得,所以抛物线的方程为:;
(2)设,,,,,,则,,
直线的斜率,
则直线的方程为:,即①,
同理可得直线的方程整理可得②,
将,分别代入①,②的方程可得,消可得,
易知直线,则直线的方程为:,
即,故
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