高一数学竞赛试题参考答案与评分标准

-- 2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合，则集合中所有元素的和为（ ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】 B 【解答】由，得。又。因此。 所以，集合中所有元素的和为0。 2．已知正三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解答】设，则三棱锥外接球的半径。 （第2题图） 由，得。 ∴ ，三棱锥的体积。 3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解答】 由，得 ∵ ， ∴ ，即，解得或。 ∴ 的取值范围为。 4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ） （1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线； （2）若，，，则； （3）若，，且，则； （4）若，，，，则。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B （第4题图） 【解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。 （2）、（3）正确。 （4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，，，，但与面相交而不平行。 5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解答】 依题意，的图像关于直线对称。 ∴ ，。 于是，，解得。 ，时， 。 ∴ ， 即。 此时，，，符合题意。 ∴ ，即时，取最小值。 6．已知，，，若，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解答】 由，得。 ∴ 。 设，则。 ∵ ， ∴ ，解得，即，。 ∴ ，即。 ∴ ，即。 由，知，。 ∴ ，解得。因此，。 又当时，代入前面解得，。符合题设要求。 ∴ 的最小值为。 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为 。 【答案】 【解答】当时，在上为增函数，依题意有 ，方程组无解。 当时，在上为减函数，依题意有 ，解得。 所以，。 8．如图，在三棱锥中，，，。设与所成的角为，则的值为 。 【答案】 【解答】如图，取中点，连接，。 ∵ ，， ∴ ，，。 ∴ ，。 （第8题图） 又由，知是等边三角形。 作于，则，且。 ∴ 是与所称的角。 ∴ 。 （第8题图） 9．已知，，，点在线段内，且平分，则点的坐标为 。 【答案】 【解答】如图，方程为，设（）。 又直线方程为，方程为，平分。 ∴ 点到直线、距离相等。 ∴ 。 （第9题图） 解得，（舍去）或。 因此，点坐标为。 10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，，则不等式组的解集为 。 【答案】 【解答】∵ 是偶函数，且在区间上单调递减。 ∴ 在区间上为增函数。 又是以2为周期的周期函数， ∴ 在区间上为增函数。 又，，以及是以2为周期的偶函数。 ∴ ，。 又， ∴ 不等式组的解集为。 11．已知，定义，，，，，…，则 。 【答案】 【解答】 依题意，有，，， …………… 一般地，有。 所以，。 12．已知，，，且，则的最大值为 。 【答案】 【解答】由，知 ，当且仅当，且，即，时，等号成立。 所以，的最大值为。 三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知，且当时，恒成立。 （1）求的解析式； （2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。当、为整数，时，求直线的方程。 【解答】（1）依题意，，。 ∴ ，且。 ∴ 。 …………………………… 4分 此时，，可见在区间上的最小值为。 ∴ 的对称轴为，即，。 ∴ 。 …………………………… 8分 （2）由（1）知，。同理。 ∵ ， ∴ 。 ∴ 。 …………………………… 12分 又、为整数，且， ∴ ，或，或。 结合，得，。 ∴ 、坐标分别为、。 ∴ 直线的方程为。 …………………………… 16分 14．过直线：上一点作圆：的两条切线、，、为切点。 （1）在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （2）若直线过原点，求点的坐标。 【解答】（1）假设符合条件的点存在。 则由，知。 ∵ ，， ∴ 。 ……………………………… 4分 另一方面，由圆心到直线的距离，知。 即，矛盾。因此，假设不成立。 ∴ 符合条件的点不存在。 ……………………………… 8分 （2）设为直线上一点。 则。 ∴ 点、在以为圆心，半径为的圆上， 即点、在圆上， 即圆上。 又点、在圆：上，即圆上。 将上述两圆方程联立，消二次项，得。 ∴ 直线方程为。…………………… 12分 由直线过原点知，。 联立，解得，。 ∴ 点的坐标为。 ……………………………… 16分 15．如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点在线段上，且。 （1）求证：； （2）求证：。 【解答】（1）由条件知，，， ∴ 、、、四点共圆。 ∴ 。……………… 4 分 ∵ 为的中点， ∴ ，。 延长交于点。由为的垂心知，。 （第15题图） ∴ 。 ∴ 。 又，， ∴ 。……………………………… 8分 （2）由（1）知，。 又， ∴ 。 ∴ 。…………………… 12分 又， （第15题图） ∴ 。 又， ∴ 。 ∴ 。 ……………………………… 16分 16．已知为定义在上的奇函数，且当时，。。 （1）若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值； （2）记为函数的所有零点之和。当时，求的取值范围。 【解答】 （1）如图，作出函数的草图。 （第16题图） 由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。 所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。 因此，或。 ………………………………… 4分 （2）由的图像可知，当时，有6个不同的零点。………… 8分 设这6个零点从左到右依次设为，，，，，。 则，，是方程的解，是方程的解。 ∴ 。 …………………… 12分 ∵ 时，， ∴ 。 ∴ 时，的取值范围为。 ……………………… 16分 17．设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质： ① 对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数； ② ，，且是中最大的数。 求的最大值。（符号表示集合中元素的个数） 【解答】依题意，设，且。 记，，则，其中，2，3，…，。 ∴ 对任意，有。………… 5分 ∴ 对任意，。 又， ∴ 任意，。 ∴ 任意，。 于是，。 即，。 ∴ 。 ………………………………… 10分 另一方面，令，，2，3，…，31，则符合要求。 ∴ 的最大值为31，即的最大值为31。 …………………………… 14分 ---