安徽省马鞍山市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】

安徽省马鞍山市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 考生注意：本为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分100分．请在答题卡上答题． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（ ） A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，7 2．设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东20°，灯塔在观察站的南偏东40°，则灯塔与灯塔的距离为（ ） A．km B．km C．km D．km 4．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ） A．一定为5.5kw•h B．高于5.5kw•h C．低于5.5kw•h D．约为5.5kw•h 5．已知复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D． 6．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．下列命题是假命题的是（ ） A．数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同 B．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙 C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5 D．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变． 8．设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（ ） A． B． C． D． A． 9．已知正三棱锥的底面边长为，点到底面的距离为，则三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 10．从集合{3，4，6}中随机地取一个数a，从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ） A． B． C． D． 11．在四边形中,,,则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 12．如图，空间几何体，是由两个棱长为的正 三棱柱组成，则直线和所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13．若向量，，且，则的值是　　　　． 14．已知复数满足，则的最小值为　　　　． 15．已知三棱锥，底面，，，，，则三 棱锥的外接球表面积为　　　　． 16．如图，已知为平面直角坐标系的原点， ，． 则向量在向量上的投影向量为　　　　． 17．在中，已知，，，，，与交于点，则的余弦值是　　　　． 三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 18.（本小题满分8分） 2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下： 组别 青少年组 中年组 老年组 调查人数 10 20 10 好评率 0.7 0.6 0.9 假设所有被调查游客的评价相互独立． （1）求此次调查的好评率． （2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率. 19.（本小题满分8分） 已知，，. （1）求与的夹角； （2）求． 20.（本小题满分8分） 已知四棱锥，底面是菱形，， 底面，且，点是棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 21.（本小题满分10分） 在中，角所对的边分别为. （1）证明：； （2）若，， 求的周长. 22.（本小题满分10分） 如图，在正方体中，，，，是所在棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 答案部分 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B．2．D．3．C．4．D．5．A．6．D． 7．D．8．A．9．C．10．B11．C．12．D． 二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13．．14．．15．． 16．（写 亦可）．17．． 三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 18.（本小题满分8分） （1）好评率是 ……………………4分 （2）在所有评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是. ……………………8分 19.（本小题满分8分） （1），…………………………………3分 ∴=60°. …………………………………4分 （2）∵ = =16+4×6+4×9=76， ∴. …………………………………8分 20.（本小题满分8分） （1）证明：取的中点，连接、 ∵ ，分别为，的中点， ∴ ∥，=. E 又∵是的中点， ∴ ∥，=. ∴ ∥，=. ∴ 四边形为平行四边形. ∴∥. 又∵面，面 ∴∥面. …………………………………4分 （2） 解：∵⊥底面， ∴点到底面的距离为1. 易知=， ∴=. …………………………………8分 21.（本小题满分10分） （1）证明：△中由余弦定理得 = ==. ∴ 原等式成立. (由正弦定理证明亦可) ………………4分 （2）解：由可得， 由（1）知 =， ∴ ， ∴ . ∴ . ………………………7分 又∵=7, =5, ∴ ，得=8或-3（舍去） ∴ =8. ∴△的周长为++=20. ………………………10分 22.（本小题满分10分） （1）证明：在正方体中， ⊥面，∴⊥. ∵ 在侧面中，易知⊥， ∴⊥面. ………………………5分 （2）解： 连接，交于，交于，连接，由知共面，设. 由（1）知⊥面， ∴ 为在平面内的射影 ∴ ∠为与平面所成的角. △中，=，=， ∴ ∠===. ………………………10分