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考点60 不等式的证明、柯西不等式
1．已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．
（1）；（2）见解析
2．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证
(1)；(2)证明见解析.
3．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设，证明: .
(1) (2)见解析
（1）当时， 恒成立，所以；
当时， ，
所以，综合可知，不等式的解集为.
4．设函数，（实数）
（1）当，求不等式的解集；
（2）求证
（1）；（2）
（1）原不等式等价于，
当时，可得，得；
当时，可得，得不成立；
当时，可得，得；
综上所述，原不等式的解集为
5． 已知函数，关于的不等式的解集记为.
（1）求；
（2）已知，，求证
（1）（2）见解析
（1）由，得，
即或或
解得或，
所以，集合.
（2）证明：∵，，∴，
∴，，，
∵，
∴.
6． 已知，且，证明：
（1）；
（2）.
（1）见解析（2）见解析
7． 关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若，且，求证
（1）1（2）见解析
8．已知函数，.
（1）解不等式；
（2）设，求证
（1）；（2）证明见解析.
（1）由题意得原不等式为，等价于
或或，
解得或或，
综上可得．
∴原不等式的解集为．
（2）
，
当且仅当时等号成立．
9．已知实数x, y满足.
（1）解关于x的不等式；
（2）若，证明：
（1）；（2）9
（2）且，
.
当且仅当时，取“=”.
10．已知，且.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明
(1);(2)见解析.
当时，，解得，故；
综上，.
（2）
，
，
.
11．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意恒成立，求证
(1) ；(2)证明见解析.
因为对任意恒成立，
所以，
又，
所以．
12． 已知，不等式的解集是.
（1）求集合；
（2）设，证明
（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.
13． 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记的最大值为，证明：对任意的正数， ， ，当时，有成立.
(1) ;(2)见解析.
14． 已知实数满足，证明：
（1）；
（2）.
(1)见解析;(2)见解析.
（1）由，得，
所以，
即.
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，
15． 已知，．
（1）求的最小值
（2）证明：．
（1）3； （2）证明见解析．
（1）因为，，
所以,即，
当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．
（2）
．
16．已知函数的图象的对称轴为.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，正数， 满足，求证： .
(1) (2)见解析
17．已知函数的定义域为；
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数， ， 满足，求的最小值.
（1）；（2）
18． 已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若， ， ，求证．
（1）（2）见解析
（1），取等号时， ，即，故m=4．
（2）由（1）a+b=4，所以．
因为，取等号时， ，因为a+b=4，所以a=， ．故．
19． （1）已知函数.若时， ，求实数的取值范围；
（2）已知，且，求证： .
(1）[－7，7]（2）见解析
、（1）当时， 即，由此在上恒成立，故得且．当时， 的最小值为，所以的取值范围是．
（2）因为，所以，所以 ，故.
20． 已知函数f(x)=x+2,g(x)=2-2x,
（Ⅰ）若，且恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求的最大值．
(1);(2).
21．已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.
(1) （2）
22．选修4-5：不等式选讲
（1）已知，都是正实数，且，求的最小值；
（2），，求.
(1);(2)见解析.
（1）由柯西不等式得 ，当且仅当时取等号；
∴，∴的最小值为.
（2） .
23． 已知函数．
（Ⅰ）若，且恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求的最大值．
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
24． 已知函数的最小值为（，，为正数）.
（1）求的最小值；
（2）求证
（1）36；（2）见解析.
（1）∵（当且仅当时取等号），
由题意，得.
根据柯西不等式，可知 ，
∴.
∴的最小值为36.
（2）∵，，，
∴ ，
∴.
25．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．
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