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考点36 基本不等式
1.若正数满足,当取得最小值时,的值为( )
A. B. 2 C. D. 5
B
2.抛物线上有一动弦,中点为,且弦的长度为,则点的纵坐标的最小值为( )
A. B. C. D.
A
由题意设,,,直线的方程为,
联立方程,整理得
,,,
点M的纵坐标,
弦的长度为
,即
3.已知实数、,满足,则的取值范围是
A. B.
C. D.
D
由,知,故选D.
4.若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. (-4,2) D. (-2,4)
C
因为正实数满足,
所以,
当且仅当时,即时取得最小值8,
因为恒成立,所以,即,
解得,故选C.
5.已知函数,若和图象有三条公切线,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
A
6.若为正实数,且,则的最小值为
A. B. C. D.
C
由题意得,因为为正实数,所以
,当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为,
故选:C.
7.点在曲线上运动,,且的最大值为,若,,则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
8.设满足约束条件,则的最小值为
A. 12 B. 13 C. D.
A
9.设正数满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
A
因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,
所以=
,
当且仅当时取最小值.
故A
10.设x、y均为正实数,且,则xy的最小值为( )
A. 4 B. C. 9 D. 16
D
将等式化简可得:,解得:,所以,
所以最小值为16.
故选D.
11.在面积为1的中,,分别是,的中点,点在直线上,则的最小值是( )
A. 1 B. C. D. 2
C
12.若正实数满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
B
13.已知,且,则的取值范围是___________.
正数,
,
,
或(空集),
,故答案为.
14.已知,则的最小值为__________.
因为知,又,所以,而
,经检验等号成立,故填.
15.大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。如图所示,已知,垂直放置的标杆的高度米,大雁塔高度米.某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与的关系.该小组测得的若干数据并分析测得的数据后,发现适当调整标杆到大雁塔的距离,使与的差较大时,可以提高测量精确度,求最大时,标杆到大雁塔的距离为_______米.
.
16.设满足约束条件若目标函数的最大值为12,则的最小值为______________
根据约束条件绘制可行域如图所示;
17.在中, 分别为三边中点,将分别沿向上折起,使重合,记为,则三棱锥的外接球面积的最小值为________________.
9
由题意得三棱锥的对棱分别相等,
18.设,若且,则的取值范围______
先画出函数的图象,如图,
,且,
19.已知a,b,c为正数,且.
(1)求函数的最小值;
(2)若,求的最小值.
(1)1(2)
(1)∵
当且仅当,即时,等号成立,
∴.
(2)因为,
所以
,
所以,当且仅当时等号成立,
故的最小值为.
20.某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片,每批生产若干盒,每片成本1元,每盒芯片需检验合格后方可出厂.检验方案是从每盒芯片随机取3片检验,若发现次品,就要把全盒12片产品全部检验,然后用合格品替换掉不合格品,方可出厂;若无次品,则认定该盒芯片合格,不再检验,可出厂.
(1)若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率?
(2)若每片芯片售价10元,每片芯片检验费用1元,次品到达组装工厂被发现后,每片须由代工厂退赔10元,并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为,且相互独立.
①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为,求的最大值点;
②若以①中的作为的值,由于质检员操作疏忽,有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂,试确定这箱芯片最终利润(单位:元)的期望.
(1);(2)①,②72
②由题设知,
设这箱芯片不合格品个数为
则
故
则
这箱芯片最终利润的期望是72元.
21.选修4-5:不等式选讲
已知定义在上的函数,,若存在实数使得成立.
(1)求实数的值;
(2)若,,求证:。
(1).
(2)见解析
当且仅当,
即,时“=”成立,
故.
22.已知椭圆的顶点坐标分别为、,且对于椭圆上任意一点(异于、),直线与直线斜率之积为.
(I)求椭圆的方程;
(II)如图,点是该椭圆内一点,四 边形的对角线与交于点.设直线,记.求的最大值.
(I);(II).
又直线不过点,得
23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.
(1)证明:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.
(1)证明: ,
显然f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以f(x)的最小值为f=a+=1,即2a+b=2.;
(2)
(1)证明:
,
显然f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以f(x)的最小值为f=a+=1,即2a+b=2.
(2)因为a+2b≥tab恒成立,所以恒成立,
=+= (2a+b)= ≥,
当且仅当a=b=时,取得最小值.
所以t≤,即实数t的最大值为.
24.已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 .
(1) (2)
则,,
.
25.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)求关于的不等式的解集;
(2) ,使得成立,求实数的取值范围.
(1) (2)
(1)由题意得
不等式可化为或或 或
解得.
所以不等式的解集为.
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