2021年高考数学考点36基本不等式必刷题理【含答案】

考点36 基本不等式 1．若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ） A． B． 2 C． D． 5 B 2．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（ ） A． B． C． D． A 由题意设，，，直线的方程为， 联立方程，整理得 ，，， 点M的纵坐标， 弦的长度为 ，即 3．已知实数、，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． D 由，知，故选D. 4．若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是(　　) A． B． C． (-4,2) D． (-2,4) C 因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即时取得最小值8， 因为恒成立，所以，即， 解得，故选C. 5．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． A 6．若为正实数，且，则的最小值为 A． B． C． D． C 由题意得，因为为正实数，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为， 故选：C. 7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 A 8．设满足约束条件，则的最小值为 A． 12 B． 13 C． D． A 9．设正数满足,则的最小值为( ) A． B． C． D． A 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6, 所以= ， 当且仅当时取最小值. 故A 10．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（ ） A． 4 B． C． 9 D． 16 D 将等式化简可得：，解得：，所以， 所以最小值为16. 故选D. 11．在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（ ） A． 1 B． C． D． 2 C 12．若正实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． B 13．已知，且，则的取值范围是___________. 正数， ， ， 或（空集）， ，故答案为. 14．已知，则的最小值为__________． 因为知，又，所以，而 ，经检验等号成立,故填. 15．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。如图所示，已知，垂直放置的标杆的高度米，大雁塔高度米.某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与的关系.该小组测得的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离，使与的差较大时，可以提高测量精确度，求最大时，标杆到大雁塔的距离为_______米. . 16．设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为______________ 根据约束条件绘制可行域如图所示； 17．在中， 分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________. 9 由题意得三棱锥的对棱分别相等， 18．设，若且，则的取值范围______ 先画出函数的图象，如图， ，且， 19．已知a，b，c为正数，且． （1）求函数的最小值； （2）若，求的最小值． （1）1（2） （1）∵ 当且仅当，即时，等号成立， ∴． （2）因为， 所以 ， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 20．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂． (1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？ (2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立． ①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点； ②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望． （1）；(2)①，②72 ②由题设知， 设这箱芯片不合格品个数为 则 故 则 这箱芯片最终利润的期望是72元． 21．选修4-5：不等式选讲 已知定义在上的函数，，若存在实数使得成立． （1）求实数的值； （2）若，，求证：。 （1）． （2）见解析 当且仅当， 即，时“＝”成立， 故． 22．已知椭圆的顶点坐标分别为、，且对于椭圆上任意一点（异于、），直线与直线斜率之积为. （I）求椭圆的方程； （II）如图，点是该椭圆内一点，四 边形的对角线与交于点.设直线，记.求的最大值. （I）；（II）. 又直线不过点，得 23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝｜x＋a｜＋｜2x－b｜的最小值为1． （1）证明：2a＋b＝2； （2）若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值． （1）证明： ， 显然f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)的最小值为f＝a＋＝1，即2a＋b＝2.； （2） （1）证明： ， 显然f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)的最小值为f＝a＋＝1，即2a＋b＝2. （2）因为a＋2b≥tab恒成立，所以恒成立， ＝＋＝ (2a＋b)＝ ≥， 当且仅当a＝b＝时，取得最小值. 所以t≤，即实数t的最大值为. 24．已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; （2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 . (1) (2) 则，， . 25．选修4-5：不等式选讲 已知函数 . (1)求关于的不等式的解集； (2) ,使得成立,求实数的取值范围. (1) (2) (1)由题意得 不等式可化为或或 或 解得． 所以不等式的解集为．