2022高三数学开学摸底考试卷01理【含答案】

2022高三数学开学摸底考试卷 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，，则　　 A．， B．， C． D． C 集合， ， ． 故选C． 2．若虚数满足，则　　 A． B． C． D． A 设，，， 则由，得， 即， 所以，解得， 所以． 故选A． 3．已知命题，方程都表示双曲线；：抛物线的焦点坐标为；下列判断正确的是　　 A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题 C 方程表示双曲线，则有，解得， 故命题，方程都表示双曲线为真命题； 抛物线的焦点坐标为， 故抛物线的焦点坐标为是假命题； 所以为真，为假， 则为真，为假， 故选C． 4．下列函数为奇函数的是　　 A． B． C． D． D 对于，，（1），（1）， 函数不是奇函数； 对于，函数定义域为，， 函数为偶函数； 对于，函数定义域为，， 函数为偶函数； 对于，由，得，函数定义域为， 而， 函数为奇函数． 故选D． 5．已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． C 根据指数运算与对数运算的性质， ，，， 设，， 由于函数为增函数， 由于的值接近于4， 所以． 故选：C． 6．在正方体中，异面直线与BD的夹角为　　 A． B． C． D． B 在正方体中，，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与夹角等于或其补角， 连接，因为△为正三角形， 所以， 所以异面直线与夹角为． 故选B． 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成　　种重卦． A．6 B．15 C．20 D．1 C 每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则有种． 故选C． 8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为　　 A． B． C． D． D 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到， 再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象由， 即， 因为是奇函数，所以，． 解得． 因为，所以当时，的最小值为． 故选D． 9．在圆内任取一点，则该点到直线的距离小于1的概率为　　 A． B． C． D． C 由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为， 故到直线距离为 1的点在直线上， 则，或（舍去）； 满足圆内到直线的距离小于1的点位于两直线之间的弓形内， 由于圆的半径为2，，； ． 故概率． 故选C． 10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D． B 由， 得，． 要使有两个极值点， 只需有两个变号根，即有两个变号根． 令，，则， 由得，易知当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以， 而，， 作出，的图象，可知： ，解得． 故选B． 11．已知为椭圆的中心，为的一个焦点，点在外，，经过的直线与的一个交点为，是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率为　　 A． B． C． D． B 不妨设，，则， 易知中只能， 是有一个内角为的等腰三角形，则， 将代入椭圆方程得到，即， 解得或（舍去）， 故， 故选B． 12．已知函数，．若关于的方程有四个不同的解，则实数的取值集合为　　 A． B． C． D． A 解：设，方程有四个不同的解， ， 为偶函数，且当时，为增函数，则当时，为减函数， ，即， 当时，，则， 另，解得， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 又， 作出在时的图像，如图所示： 由图可知，当时，，的图像与图像有2个交点， 作出的图像，如下： 此时与分别与有2个交，即有4个不同的解， 故实数的取值范围为， 故选A． 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，，则的离心率为　　． 可设，， 由，可得， 由双曲线的定义可得， ， 由双曲线的定义可得， 在直角中，可得， 即， 在直角△中，可得， 即为，即， 可得． 故． 14．已知向量，，且与垂直，则　　． 向量，， ， 垂直，，解得． 故． 15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为　　． 由余弦定理可得，， 解可得，， 所以的面积． 故 16．将满足的封闭图形绕轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为　　． 8 将满足的封闭图形绕轴旋转一周所得的几何体 是圆锥， 圆锥的底面半径为：2，高为4， 几何体的主视图图是等腰三角形， 面积为：． 故8． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分. 17．已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，，求的值． （1）；（2）． 解：（1）数列的前项和为，，，①， 当时，，②， ①②得：， 所以（首项符合通项）， 故． （2）由于，所以， 故， 由于，，成等比数列， 所以， 解得或（负值舍去）， ， 所以． 18．某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位： 这里用．表示有件尺寸为的零件． （1）求这50件零件内径尺寸的平均数； （2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在，内的件数． 参考数据：取． （1）25.40；（2）740. （1）计算这50个零件内径尺寸的平均数为： ； （2）计算这50件零件内径尺寸的方差为： ， 所以， 所以，，， 计算这50个零件内径尺寸在，内的件数是， 估计该厂1000件零件中其内径尺寸在，内的件数为． 19．如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． （Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 又，， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （Ⅱ）由题意，以为原点，垂直与的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，，，，，，，，， 所以，，，，，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，2，， 所以，， 由图象可得二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 20．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积． （1）；（2）16. （1）抛物线的焦点为，，准线方程为， 点在上，，可得，， 解得，则的方程为； （2）由（1）可得，设直线的方程为， 圆的圆心，半径为， 与圆相切，可得， 解得， 则直线的方程为， 联立抛物线方程；可得， 设，，，，则， 可得， 又到直线的距离为， 则的面积为． 21．已知函数，其中． （1）讨论函数的极值； （2）设，当时，若不等式对任意，恒成立，求最小值． （1）当时，的极小值为（1），无极大值，当时，的极小值为，极大值为（1）；（2）. （1）的定义域为， ， ①当，即时，当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减，有极小值为（1），无极大值； ②当，即时，当，时，，则函数在，上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 则的极小值为，极大值为（1）． 综上所述：当时，的极小值为（1），无极大值， 当时，的极小值为，极大值为（1）； （2）当时，， 由，可得， 设，，则， 当时，， 设，则， 在，上单调递增， 又（1），， 存在，，使得，， ， 当时，，， 当，时，，， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 得， 函数在区间，上单调递增， ，， 又对任意的，恒成立，， ， 故的最小值为是． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．以直角坐标坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，射线，分别与曲线交于极点外的三点，，． （1）求的值； （2）当时，，两点在曲线上，求与的值． （1）；（2），. （1）设点、、的极坐标分别为，，，， 由点、、在曲线上得：，，． 所以，． ， 所以． （2）由曲线的参数方程知，曲线是倾斜角为且过定点的直线， 当时，、两点的极坐标分别为，，，化为直角坐标为，， 所以，直线的斜率为， 所以，又因为直线的方程为：，由点在直线上得：． 23．已知函数，． （1）若，，求不等式的解集； （2）设函数的最小值为，当时，求的取值范围． （1），；（2）. （1），，， 当时，不等式化为，，此时； 当时，不等式化为，恒成立，此时； 当时，不等式化为，，此时． 综上所述，不等式的解集为，． （2），， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以的取值范围是．