2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题35极坐标与参数方程【含答案】

专题35 极坐标与参数方程 一．学习目标 【学习目标】 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 4.了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题. 5.掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程. 二．知识点 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在 变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到 点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化 ，简称伸缩变换． 2．极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴． 设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ） 称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角． 3．坐标之间的互化 (1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π. 4．参数方程的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程． 5．参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数 ，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 三．方法总结 1.点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应. 2.极坐标和直角坐标的互化公式是或.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解. 3.极坐标方程的应用及求法 (1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单. (2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题. (3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝. (4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′. 4.极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式|AB|＝ 1.选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数. 2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略). 3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；(2)若M0为线段M1M2的中点，则有t1＋t2＝0；(3)若线段M1M2的中点为M，则M0M＝tM＝.一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP＝ .直线的参数方程的一般式(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2＋b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R)，式中“±”号，当a，b同号时取正；当a， b异号时取负. 5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的. 6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解. 7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解. 8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解. 四．高考命题题型演练 1.极坐标方程 例1. 在平面直角坐标系中，圆，直线. (1)以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆和直线的交点的极坐标； (2)若点为圆和直线交点的中点，且直线的参数方程为 (为参数)，求， 的值. （1）和点；（2）， . 解析： (1)由题可知，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，由 ，可得或，可得圆和直线的交点的极坐标为和点. (2)由(1)知圆和直线的交点在平面直角坐标系中的坐标为和，那么点的坐标为，又点的坐标为，所以直线的普通方程为，把 (为参数)代入，可得，则，即， . 练习1. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程； （2）设|与的交点为，求的面积. （1） 的极坐标方程为；（2）的面积为. 试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为 圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为 （Ⅱ）将代入,得, 解得,故,即. 由于圆的半径为,所以的面积为 练习2. 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求直线与圆的极坐标方程； （2）射线: （）与圆的交点为， 两点，与直线交于点，射线: 与圆交于， 两点，与直线交于点，求的最大值． (1) , ；（2）. 试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程； （2）由题意可得：点， 的极坐标，可得，同理可得： ，即可得出结论． 试题解析： （1）直线l的方程是，可得极坐标方程： 圆C的参数方程是（为参数），可得普通方程： 展开为．化为极坐标方程： 即 练习3. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点， 轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标方程为： . （Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程；将曲线的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点，曲线与曲线的交点为，求的值. (Ⅰ) ；（Ⅱ）. 试题分析：⑴利用参数方程与普通方程之间的转化方法进行化简(2) 曲线与曲线的相交，法一和法二将参数方程代入曲线方程，利用两根之和计算出结果，法三利用普通方程计算求出结果 解析：（Ⅰ） ，即： ； ，即： （Ⅱ）方法一： 的参数方程为代入得 ∴，∴. 方法二： 2.参数方程 例2.【选修4—4 坐标系与参数方程】 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点． (Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程； (Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． （1）（2）见解析 试题分析：（1）根据中点坐标公式得，即得M的轨迹的参数方程；（2）根据两点间距离公式得d，再根据x=y=0得，即M的轨迹过坐标原点. 试题解析：(Ⅰ)依题意有 因此 M的轨迹的参数方程为（为参数， ） (Ⅱ)M点到坐标原点的距离 当时， ，故M的轨迹过坐标原点. 练习1. 已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线： 上. （1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围. (1) (2) 试题解析： （1）设点的坐标为，则有 消去参数，可得，为点的轨迹的方程； 由曲线： ，得，且， 由， 故曲线的方程为： ； （2）曲线的方程为： ，即 表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆 由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得． 练习2. 已知曲线 (为参数)和曲线 (为参数)相交于两点，求两点的距离． AB＝． 试题分析：利用平方法消去曲线的参数可得曲线的普通方程，利用代入法消练习3. 已知直线的参数方程为（为参数）.以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程； （Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标. （1）,；（2）. 解析：（1）直线经过定点， 由得， 得曲线的普通方程为，化简得； （2）若，得的普通方程为， 则直线的极坐标方程为， 联立曲线： . ∵得，取，得， 所以直线与曲线的交点为. 3.极坐标、参数方程、普通方程互化 例3. 已知曲线（为参数）和曲线（为参数）相交于两点，求两点的距离. . 试题分析： 由，解得或． ∴ ∴． 即两点的距离为． 练习1. 已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. （1）求圆的直角坐标方程； （2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围. （1）（2） 【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得的取值范围. 【试题解析】 解：（1）∵圆的极坐标方程为， ∴， 又∵， ， ∴， ∴圆的普通方程为 练习2. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为. （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）设， 分别是直线与曲线上的点，求的最小值. （1）;;（2）. 试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，通过消去参数可将直线的参数方程转化为普通方程； （2）在直角坐标系中进行求解，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，利用数形结合边框求出的最小值. 试题解析