河南省宝丰县第一2021届高三数学下学期4月月考试题文【含答案】

河南省宝丰县第一2021届高三数学下学期4月月考试题 文 第Ⅰ卷 注意：本试卷共150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝ A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜2} 2．复数则 A.1 B.2 C. D. 3．2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　） A．甲的物理成绩领先年级平均分最多 B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史 D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 4．若满足约束条件，则的取值范围是 A. B. C. D. 5．如图，正方体中，为中点，则与所成角的余弦值为（ ） A． 　　　　B． 　　　　C．　　　　　　D． 6．已知等差数列的前项和为，且，，则 A.4 B.2 C. D. 7．函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 8. 关于直线与平面，有以下四个 ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则；④若且，则； 其中真命题的序号是 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 9．函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 10.若函数在区间上有最大值，则的取值范围为 A. B. C. D. 11．双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 12．已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．在中，，，分别为角，，所对的边，，，则的面积为___________. 14. 若向量与的夹角为，，，则________. 15. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》各一本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________. 16. 已知函数，则下列说法正确有__________.（将所有正确的序号填在横线上）①．的图象关于点中心对称 ②．在区间上单调递减 ③．在上有且仅有个最小值点 ④．的值域为 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分） 已知数列为正项等比数列，为的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）从三个条件：①；②；③中任选一个作为已知条件，求数列的前项和． 18. （本小题满分12分）根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊､逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示. （1）已知该地区高龄段的男女比例为，在该地区1000名居民组成的样本中，从高龄段随机抽取2人，求抽到的两人恰好都是女性的概率； （2）为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示，根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数. 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 20．（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，其长半轴长为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求与的面积分别为，，求的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数. （1）若在处的切线是，求实数的值； （2）当时，函数有且仅有一个零点，若此时，恒成立，求实数的取值范围. 请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线和曲线的直角坐标方程； （2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值. 23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 设函数． （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 答案 1-12 BCCDD ACDAA AC 13. ． 14. 6 15. 16. ②③ 17. 解：（1）设数列的公比为，因为：，所以，故：，解得：或（舍去），故． 由：，得：，将代入得：， 所以数列的通项公式为：； （2）选择① ， 数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 选择②： ， 所以 选择③： ， 数列是首项为0，公差为1的等差数列． 所以． 18（1）；（2）总人数大为万. 【分析】 （1）先计算岁居民的人数，再利用分层抽样计算男性、女性的人数，利用古典概型概率公式即可求解； （2）先根据图判断出签约率超过35%低于60%的人群为岁，再根据频率分布直方图求出对应的小矩形面积之和即为概率，乘以1000可得总人数. 【详解】 （1）由题意得，岁居民的人数为人， 又该地区高龄段的男女比例为， 这5人中有男性2人，女性3人， 记两名男性为，三名女性为， 现从5人中随机抽取2人，可能的结果有：，共10种可能， 其中满足2人恰好都是女性的有，共3种可能， 所以. （2）由图2，可知， 年龄段，签约率37.1%， 年龄段，签约率55.7%， 由图1易得所求频率， 所以估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数大约为万 19.【分析】 （1）根据勾股定理可计算的长，易证明，可得，再利用面面垂直的性质定理即可求证； （2）由（1）结合已知条件可判断为等边三角形，取的中点，连接，易证明平面，利用即可求解. 【详解】 （1）因为四棱锥的底面是直角梯形，， ，，所以， 可得：，所以又因为平面平面， 且平面平面，又平面， 所以平面. （2）因为，取的中点，连接， 则由（1）知，则为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， ， 所以. 20．（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】 （Ⅰ）由长轴长知，结合椭圆过A点，求a、b，写出椭圆方程； （Ⅱ）由题意设直线的方程为，，，联立椭圆方程结合韦达定理得，，进而写出直线的方程并求坐标，而，再通过基本不等式求其最值. 【详解】 （Ⅰ）由已知，得．∴椭圆的方程为． ∵椭圆经过点，∴，解得． ∴椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意，知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，．由，消去，得． ∵，∴，． ∵为点关于轴的对称点，∴．∴直线的方程为， 即．令，则．∴． ∴ ． ∴当且仅当，即时，取得最大值． 21.．（1）（2） 试题分析：（1）若在处的切线是得出解得a; (2)有且仅有一个零点即方程（）有唯一的实数根,分离（，即直线与函数（）的图象有唯一的交点，构造函数研究单调性得出最值即得解. 试题解析：（1），（）， 由已知，∴（2）由已知（） 即方程（）有唯一的实数根所以（） 即直线与函数（）的图象有唯一的交点 构造函数 （）（） 令，，而，∴；，，；，，∴，；，且，；， 所以 已知可化为（）的最小值 （）所以在上减，在上增 所以综上实数的取值范围是 22. 解：解：（1）直线，故， 即直线的直角坐标方程为. 因为曲线，则曲线的直角坐标方程为， 即. （2）设直线的参数方程为（为参数）， 将其代入曲线的直角坐标系方程得. 设，对应的参数分别为，，则，， 所以M对应的参数，故