资源描述
第9讲 四面体与球
本节内容主要是四面体和球的性质与计算,球与多面体的关系,四面体的外接球与内切球等.
A类例题
长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是( )
A.20π B.25π C.50π D.200π
(1997年理)
分析:首先求出球的半径.
解:易知球的中心为长方体的中心,长方体的对角为线球的直径,故R==,∴S=4πR2=50π.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
答案:C
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为( )
(A)8π (B)8π (C)4π (D)4π[来源:学,科,网]
(2005年·河南河北山西安徽卷)
解:截面圆面积为,∴截面圆半径,
∴球的半径为R==,∴球的表面积为.
答案:B
球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.
(1998年理)
分析:要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系.
解:设O为大圆圆心,A,B,C为满足条件的三个点.
由任意两点的球面距离都等于大圆周长的知
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°.
∴△AOB,△BOC,△COA都是正三角形.由⊙H周长为4π知⊙H的半径为2,
∴AB=2.∴球的半径为2.
答案:B
情景再现
木星的体积约是地球体积的240倍,则它的表面积约是地球表面积的( )
A.60倍 B.60倍 C.120倍 D.120倍
正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( )
A. B. C.2πa2 D.3πa2
(1995年全国理)
一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是( )
A. B. C. D.
(2004年高考·江苏卷)
矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
B类例题
如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ABC=60°,O为球心,则直线OA与截面ABC所成的角是( )
A.arcsin B.arccos
C.arcsin D.arccos
(2004年高考·福建卷)
分析:首先要求出球及截面圆的半径,然后分析O在截面ABC的射影O′的位置.
解:由AB=2,BC=4,∠ABC=60°知∠BAC=90°,∴BC为截面圆的直径,
∴O在截面ABC的射影O′为BC中点,截面圆半径r=2.
又球的表面积为48π,∴R=2.在等腰三角形△OBC中O到BC距离为2,
∴sin∠OAO′==,即∠OAO′=arccos.
答案:D
已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为,则圆台的体积与球体积之比_______
(1995年全国理)
分析:考虑垂截面,从中找到需要的半径等线段的比例.
解:设球的半径为R,则体积为πR3,
圆台下底面半径为R,上底面半径为R,高为R.
则圆台体积为πR2·R-π()2·R=πR3.
∴圆台体积与球体积之比为.
答案:
情景再现
将3个半径为1的球和一个半径为-1的球叠为两层放在桌面上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是( )
A. B. C. D.
(2002年希望杯高二)
一根细金属丝下端挂着一个半径为1的金属球,将它沉入半径为R的圆柱形容器内的水中,现将金属丝向上提升,当金属球被提出水面时,客器内的水面下降了________.
(2001年希望杯)
一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是____.
(2000年全国高中数学联赛)
C类例题
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.求经过A1,A,B,C四点的球的体积.
(2005年高考·天津卷)
分析:利用对称性找到外接球球心的位置.
解:连结A1C.在△A1AC和△A1AB中,
∵AC=AB,∠A1AB=∠A1AC,∴△A1AC≌△A1AB,
故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC,∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O,则O∈A1H,且球心O与AA1中点的连线OF⊥AA1,
在Rt△A1FO中,A1O==a.
故所求球的半径R=,球的体积V=πR3=πa3.
在半径为R的球内作内接圆柱,则内接圆柱全面积的最大值是( )
A.3πR2 B.(1+)πR2 C.(1+)πR2 D.(1+)πR2
分析:用R表达出内接圆柱的全面积,然后求最值.
解:设内接圆柱底面半径为Rsinα,则高为2Rcosα,
全面积为2π(Rsinα)2+2πRsinα×2Rcosα=πR2(1+cosα+2sinα)
=πR2〔1+sin(α+θ)〕≤(1+)πR2.
答案:C
求证:各面的面积相等的四面体是等腰四面体(国家集训队训练题).
证明:若O为此四面体内切球球心,内切球半径为r,O1、O2为内切球与面BCD、ACD的切点.则OO1=OO2=r,且OO1⊥面BCD,OO2⊥面ACD.
∴ CO1=CO2,DO1=DO2,(从球外一点向球引的切线长相等),∠CO1D=∠CO2D.
即取内切球与四个面的切点,有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等.
把此四面体展开如图,作出了其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线.
于是有:α+β+γ=α+d+φ=β+d+θ=γ+θ+φ=360°.由此四式,可得:
β+γ=d+θ,β+d=γ+φ,Þβ=φ,θ=α,γ=d. ⑴
由四个面的面积相等,得
bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absind+adsinφ
=bcsinβ+absind+acsinθ=cdsinγ+adsinφ+acsinθ.
以⑴代入,得
bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absinγ+adsinβ
=bcsinβ+absinγ+acsinα=cdsinγ+adsinβ+acsinα. ⑵
由⑵的前二式,得
bcsinβ+cdsinγ= absinγ+adsinβ,Þ(bc-ad)sinβ=(ab-cd)sinγ.⑶
由⑵的后二式,得
bcsinβ+absinγ=cdsinγ+adsinβ,Þ(bc-ad)sinβ=(cd-ab)sinγ.⑷
比较⑶、⑷,得 ab=cd,bc=ad,Þb=d,a=c,同理可得,b=c.于是a=b=c=d.
于是可得,AB=BC,AC=BD,AD=BC,即四面体ABCD是等腰四面体.
已知 一个四面体ABCD,AB=a,CD=b,异面直线AB、CD的距离为d,所成角为d,这个四面体被平行于棱AB与CD的平面γ截成两部分,如果AB、CD到γ的距离比为k,试求这两部分的体积比.[来源:学,科,网]
(IMO—7—3)
分析:求体积比可以不用a,b,d,d这些数据.
解:如图,截面γ分别与相应的棱交于Q、R、S、T,设四面体ABCD的体积为V,ABQRST的体积为V1,CDQRST的体积为V2.
取面PQR∥面BCD,AB、CD的公垂线为MN,AB、MN确定的平面与QRST交于EF,MN与EF交于G.则EF∥AB,MN⊥面γ,ÞMN⊥EF.
∵ AB、CD与平面γ的距离之比为k,ÞNG∶GM=k,
∴ EF∶AB=MG∶MN=1∶(k+1);
AP∶AB=k∶(k+1).[来源:学+科+网]
∴ VA—PQR∶V=k3∶(k+1)3.VA—PQR=V.
三棱柱PQR—BTS的高∶三棱锥A—BCD的高=1∶(k+1).
∴ VPQR—BTS=()2·()V·3=V,∴ V1=V,V2=V-V1=V.
∴ V1∶V2=(k3+3k2)∶(3k+1).
情景再现
在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )
A.12π B.32π C.36π D.48
将8个半径为1的球放分两层放置在一个圆柱内,使得每个球与其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,求圆柱的高.
(2003年全国高中数学联赛)
习题九
把长和宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折成二面角B—AC—D,则A、B、C、D四点共球的球表面积与球内接正方体的表面积之比为( )
A. B. C. D.
已知球的表面积为20π,球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2,则球心到平面ABC的距离为( )
A.1 B. C. D.2
(2004年高考·甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆卷)
A是直径为25的球面上的一点,在这个球面上有一圆,圆上所有的点到A的距离都是15,那么这个圆的半径是( )
A.12 B.10 C.15 D.6
一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______
(1995年全国高中数学联赛)
球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形,AB=18,BC=24,AC=30,且球心到该截面的距离为球半径的一半,那么这个球的体积是______.
纬度为α 的纬线圈上有A、B两点,这两点间纬线圈上弧长为πRcosα(R为地球半径),则两点间的球面距离为_____________.
圆锥内有一个表面积为4π的内切球,求所有这样的圆锥中体积最小时的表面积.
A、B两地可以看作地球表面上的两点,它们分别在北纬60°和30°的纬线圈上,且经度差为90°,设地球半径为R,求A、B两点间的球面距离.
高为8的圆台内有一个半径为2的球O1,球心O1在圆台的轴上.球O1与圆台上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球O2,使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球O2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(1996年全国高中数学联赛)
将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )
A. B.2+ C.4+ D.
(2005高考·吉林、黑龙江、广西卷)
以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球,S是所作六个球的交集.证明S中没有一对点的距离大于.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(第2届IMO)
学科网
第9讲 四面体与球答案
1. 答案:C
2. 答案:B
3. 答案:C
4. 答案:C
5. 答:A
6. 答案:
7. 答案:πa3
8. 答案:C
9. 解:如图,由已知,上下层四个球的球心A′,B′,C′,D′和A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的定点,且以它们外接圆⊙O′和⊙O为上下底构成圆柱.同时A′在下底面的射影必是的中点M.在△A′AB中,A′A=A′B=AB=2.设AB中点为N,则A′N=.又OM=OA=,ON=1,∴MN=-1.A′M==.故所求原来圆柱的高为2+.
10. 解:设AC中点为O,长方形折叠成A、B、C、D四点共球的三棱锥后,OA=OB=OC=OD,O为球心,球半径是5,球表面积是100,此球内接正方体的表面积是200,所求的比值是.[来源:Zxxk.C
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索