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第9讲 四面体与球
本节内容主要是四面体和球的性质与计算，球与多面体的关系，四面体的外接球与内切球等．
A类例题
长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
（1997年理）
分析：首先求出球的半径．
解：易知球的中心为长方体的中心，长方体的对角为线球的直径，故R＝＝，∴S＝4πR2＝50π．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
答案：C
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）
（A）8π （B）8π （C）4π （D）4π[来源:学,科,网]
（2005年·河南河北山西安徽卷）
解：截面圆面积为，∴截面圆半径，
∴球的半径为R＝＝，∴球的表面积为．
答案：B
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
（1998年理）
分析：要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系．
解：设O为大圆圆心，A，B，C为满足条件的三个点．
由任意两点的球面距离都等于大圆周长的知
∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°．
∴△AOB，△BOC，△COA都是正三角形．由⊙H周长为4π知⊙H的半径为2，
∴AB＝2．∴球的半径为2．
答案：B
情景再现
木星的体积约是地球体积的240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍
正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）
A． B． C．2πa2 D．3πa2
（1995年全国理）
一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
（2004年高考·江苏卷）
矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
B类例题
如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）
A．arcsin B．arccos
C．arcsin D．arccos
（2004年高考·福建卷）
分析：首先要求出球及截面圆的半径，然后分析O在截面ABC的射影O′的位置．
解：由AB=2，BC=4，∠ABC=60°知∠BAC＝90°，∴BC为截面圆的直径，
∴O在截面ABC的射影O′为BC中点，截面圆半径r＝2．
又球的表面积为48π，∴R＝2．在等腰三角形△OBC中O到BC距离为2，
∴sin∠OAO′＝＝，即∠OAO′＝arccos．
答案：D
已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
（1995年全国理）
分析：考虑垂截面，从中找到需要的半径等线段的比例．
解：设球的半径为R，则体积为πR3，
圆台下底面半径为R，上底面半径为R，高为R．
则圆台体积为πR2·R－π（）2·R＝πR3．
∴圆台体积与球体积之比为．
答案：
情景再现
将3个半径为1的球和一个半径为－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）
A． B． C． D．
（2002年希望杯高二）
一根细金属丝下端挂着一个半径为1的金属球，将它沉入半径为R的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被提出水面时，客器内的水面下降了________．
（2001年希望杯）
一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是____．
（2000年全国高中数学联赛）
C类例题
如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC，AB＝AC，A1A＝A1B＝a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．求经过A1，A，B，C四点的球的体积．
（2005年高考·天津卷）
分析：利用对称性找到外接球球心的位置．
解：连结A1C．在△A1AC和△A1AB中，
∵AC＝AB，∠A1AB＝∠A1AC，∴△A1AC≌△A1AB，
故A1C＝A1B．由已知得A1A＝A1B＝A1C＝a．
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与AA1中点的连线OF⊥AA1，
在Rt△A1FO中，A1O＝＝a．
故所求球的半径R＝，球的体积V＝πR3＝πa3．
在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是（ ）
A．3πR2 B．（1＋）πR2 C．（1＋）πR2 D．（1＋）πR2
分析：用R表达出内接圆柱的全面积，然后求最值．
解：设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高为2Rcosα，
全面积为2π（Rsinα）2＋2πRsinα×2Rcosα＝πR2（1＋cosα＋2sinα）
＝πR2〔1＋sin（α＋θ）〕≤（1＋）πR2．
答案：C
求证：各面的面积相等的四面体是等腰四面体(国家集训队训练题)．
证明：若O为此四面体内切球球心，内切球半径为r，O1、O2为内切球与面BCD、ACD的切点．则OO1=OO2=r，且OO1⊥面BCD，OO2⊥面ACD．
∴ CO1=CO2，DO1=DO2，(从球外一点向球引的切线长相等)，∠CO1D=∠CO2D．
即取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等．
把此四面体展开如图，作出了其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线．
于是有：α+β+γ=α+d+φ=β+d+θ=γ+θ+φ=360°．由此四式，可得：
β+γ=d+θ，β+d=γ+φ，Þβ=φ，θ=α，γ=d． ⑴
由四个面的面积相等，得
bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absind+adsinφ
=bcsinβ+absind+acsinθ=cdsinγ+adsinφ+acsinθ．
以⑴代入，得
bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absinγ+adsinβ
=bcsinβ+absinγ+acsinα=cdsinγ+adsinβ+acsinα． ⑵
由⑵的前二式，得
bcsinβ+cdsinγ= absinγ+adsinβ，Þ(bc－ad)sinβ=(ab－cd)sinγ．⑶
由⑵的后二式，得
bcsinβ+absinγ=cdsinγ+adsinβ，Þ(bc－ad)sinβ=(cd－ab)sinγ．⑷
比较⑶、⑷，得 ab=cd，bc=ad，Þb=d，a=c，同理可得，b=c．于是a=b=c=d．
于是可得，AB=BC，AC=BD，AD=BC，即四面体ABCD是等腰四面体．
已知 一个四面体ABCD，AB=a，CD=b，异面直线AB、CD的距离为d，所成角为d，这个四面体被平行于棱AB与CD的平面γ截成两部分，如果AB、CD到γ的距离比为k，试求这两部分的体积比．[来源:学,科,网]
(IMO—7—3)
分析：求体积比可以不用a，b，d，d这些数据．
解：如图，截面γ分别与相应的棱交于Q、R、S、T，设四面体ABCD的体积为V，ABQRST的体积为V1，CDQRST的体积为V2．
取面PQR∥面BCD，AB、CD的公垂线为MN，AB、MN确定的平面与QRST交于EF，MN与EF交于G．则EF∥AB，MN⊥面γ，ÞMN⊥EF．
∵ AB、CD与平面γ的距离之比为k，ÞNG∶GM=k，
∴ EF∶AB=MG∶MN=1∶(k+1)；
AP∶AB=k∶(k+1)．[来源:学+科+网]
∴ VA—PQR∶V=k3∶(k+1)3．VA—PQR=V．
三棱柱PQR—BTS的高∶三棱锥A —BCD的高=1∶(k+1)．
∴ VPQR—BTS=()2·()V·3=V，∴ V1=V，V2=V－V1=V．
∴ V1∶V2=(k3+3k2)∶(3k+1)．
情景再现
在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（ ）
A．12π B．32π C．36π D．48
将8个半径为1的球放分两层放置在一个圆柱内，使得每个球与其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，求圆柱的高．
（2003年全国高中数学联赛）
习题九
把长和宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折成二面角B—AC—D，则A、B、C、D四点共球的球表面积与球内接正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB＝AC＝BC＝2，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
（2004年高考·甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆卷）
A是直径为25的球面上的一点，在这个球面上有一圆，圆上所有的点到A的距离都是15，那么这个圆的半径是（ ）
A．12 B．10 C．15 D．6
一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______
（1995年全国高中数学联赛）
球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到该截面的距离为球半径的一半，那么这个球的体积是______．
纬度为α 的纬线圈上有A、B两点，这两点间纬线圈上弧长为πRcosα（R为地球半径），则两点间的球面距离为_____________．
圆锥内有一个表面积为4π的内切球，求所有这样的圆锥中体积最小时的表面积．
A、B两地可以看作地球表面上的两点，它们分别在北纬60°和30°的纬线圈上，且经度差为90°，设地球半径为R，求A、B两点间的球面距离．
高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上．球O1与圆台上底面、侧面都相切．圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点．除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（1996年全国高中数学联赛）
将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A． B．2＋ C．4＋ D．
（2005高考·吉林、黑龙江、广西卷）
以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（第2届IMO）
学科网
第9讲 四面体与球答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：C
4. 答案：C
5. 答：A
6. 答案：
7. 答案：πa3
8. 答案：C
9. 解：如图，由已知，上下层四个球的球心A′，B′，C′，D′和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的定点，且以它们外接圆⊙O′和⊙O为上下底构成圆柱．同时A′在下底面的射影必是的中点M．在△A′AB中，A′A＝A′B＝AB＝2．设AB中点为N，则A′N＝．又OM＝OA＝，ON＝1，∴MN＝－1．A′M＝＝．故所求原来圆柱的高为2＋．
10. 解：设AC中点为O，长方形折叠成A、B、C、D四点共球的三棱锥后，OA＝OB＝OC＝OD，O为球心，球半径是5，球表面积是100，此球内接正方体的表面积是200，所求的比值是．[来源:Zxxk.C
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