高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第36讲__同_余

第 17 讲 同 余 同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。 设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不 同余，记作， 显然，； 1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性 1).反身性：； 2).对称性：； 3). 传递性：若，则; 2、加、减、乘、乘方运算 若 （mod m） （mod m） 则 （mod m），（mod m），（mod m） 3、除法 设 （mod m）则 （mod）。 A类例题 例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。 分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n－1=9M，则10n≡1(mod9)，故an×10n≡an (mod9)。可以考虑把此数变为多项式表示an×10n+ an-1×10n-1+…+ a1×10+a0后处理。 证明 设a==an×10n+ an-1×10n-1+…+ a1×10+a0， ∵10≡1(mod9)，∴10n≡1(mod9)， ∴an×10n+ an-1×10n-1+…+ a1×10+a0≡an+ an-1+…+ a1+a0。 说明 要熟练记忆并应用常见的数据模的特征。 例2．A，B两人玩一种32张扑克牌的取牌游戏，A先取，以后轮流进行，每次只能从剩下的牌中取1张，或者质数张牌，谁取到最后一张牌获胜，问：谁有必胜策略？ 分析 原有32张牌，如果A总取奇数张牌，B只要取1张牌，使A面临偶数张牌就可以了，此时A总不能取完偶数张牌。但2是质数，A可以取两张牌。注意到32是4的倍数，A只能取奇数张牌或2张牌，B的应对方案稍作调整，可以有必胜的策略。 解 B有必胜策略。由于32≡0（mod 4）， 而A取的牌不能是4及其倍数，从而A取后，剩下的牌张数x≡3（mod 4），或x≡2（mod 4），或x≡1（mod 4）， 于是B可以通过取1，2或3张牌，使得剩下的牌的张数y≡0（mod 4）， 所以，B依次此策略，在A取后，剩下的牌张数不同余于0（mod 4），总是有牌，而B取后剩下的牌的张数y≡0（mod 4），从而B能取到最后一张牌。 例3 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。 分析 相邻若干数之和可通过，中来实现。 解 记数列各对应项为并记 依次为1、5、13、23、39、58、79、104、134、177它们被11除的余数依次为1、5、2、1、6、3、2、5、2、1。由此可得 [来源:学§科§网Z§X§X§K] 由于是数列相邻项之和，且当时 ，则满足条件的数组有：3+1+3=7组。 说明 在解题的适当时候取模的运算会使运算量减少，并使过程变得简洁。 情景再现 1．能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为，且满足。 2．两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，把两人报出的数连加起来，如果得数是2003，最后报数的人就获胜．现在甲、乙两人已经依次报过3，5，7，5，6，乙再接着报下一个数，那么乙经过动脑筋，发现应该报某一号就有赢的把握．试问乙应该报哪一号？以后各次报数时乙应如何报数才能保证赢？ 3．（前南斯拉夫数学竞赛，1988年）有27个国家参加的一次国际会议，每个国家有两名代表．求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就坐，使得任一国家的两位代表之间都夹有9个人． B类例题[来源:学+科+网Z+X+X+K] 例4．共1998个小朋友围坐一圈，从某人开始逆时针方向报数，从1报到64，一直报下去，直到每人报过10次为止． ⑴ 有没有报过5，又报过10的人？ ⑵ 有没有报过5，又报过11的人？ 分析 报过5（10）的人的编号模64的同余特征是本题的突破口。 解 把这些学生依次编为1——1998号． ⑴设既报过5又报过10 的人原编为x号，则有 x+1998k≡5 (mod 64) x+1998l≡10(mod 64) ∴ 1998(l－k)≡5(mod 64)，即1998(l－k)=5+64n，这不可能． ⑵ 既报5又报11的人原来编为x 号． x+1998k≡5 (mod 64) x+1998l≡11(mod 64) ∴ 1998(l－k)≡6(mod 64)，即14(l－k)=6+64n，Þ7(l－k)=3+32n，取n=1，得l－k=5，即第k圈报5的人，第k+5圈后报11， ∵ 1998×5=64×156+6，这说明前5圈报5的人共157个，即共有157人既报5又报11． 说明 本题是同余在解不定方程（组）上的一个简单应用。 例5 （1992年友谊杯国际数学竞赛）求最大的正整数x，使得对任意y∈N，有x|（）。 分析 x最大不超过的最小值18，（mod18）（mod2）, （mod9）。 解 由条件，x |（7＋12－1），x |18，故x≤18。下证：对任意y∈N，有18|（）。 事实上，首先是偶数，所以2|（）；其次，当y=3k（k∈N*）时，≡≡－1≡0（mod 9），当y=3k＋1（k∈N*）时，≡≡7＋3－1≡0（mod 9），当y=3k＋2时，≡≡49－4≡0（mod 9）。故对任意y∈N*，有9|。∵（2，9）=1 ∴18| 所求的x为18 说明 本题中将模18分解为模2与模9来处理充分观察到模9的特征。 例6 试求出一切可使被3整除的自然数。 分析 。对n按6的同余类分类处理。 说明 要体会模6的选取。中对n按模3分类，对按模2分类可以分别确定结果，所以选择按模6分类。 情景再现 4．设a为小于100的自然数，且a3+23能被24整除，这样的a有多少个？ 5．求除以13的余数。 6． 有三堆棋子的个数分别为19，8，9．现进行如下操作：每次从三堆中的任意两堆中分别取出1个棋子，然后把这2个棋子都加到另一堆上去．试问：能否经过若干次这样的操作使得（1）三堆的棋子数目分别为2，12，22；（2）三堆棋子的数目均为12． C类例题 例7（第20届IMO试题）数1978n与1978m的最末三位数相等，试求正整数m和n，使得n+m取最小值，这里 分析 数1978n与1978m的最末三位数相等等价于1978n-m≡1（mod1000），寻找最小的n-m及m。 解 由已知1000=8×125，所以 ① ② 因，且（1978m，125）=1，则由②式知1978n-m≡1（mod125）③ 又直接验证知，1978的各次方幂的个位数字是以8、4、2、6循环出现的，所以只有n－m为4的倍数时，③式才能成立，因而可令n－m=4k.由于. n+m=（ n－m）+2m=4k+2m，因而只需确定出k和m的最小值. 先确定k的最小值：因为19784=（79×25+3）4≡34≡1（mod5），19784≡34≡6（mod25）.故可令19784=5t+1，而5不整除t，从而0≡1978n-m－1=19784k－1=（5k+1）k－1≡+，显然，使上式成立的k的最小值为25. 再确定m的最小值：因1978≡2（mod8），则由①式知， ④ 由于④式显然对m=1，2不成立，从而m的最小值为3. 故合于题设条件的n+m的最小值为106. 说明 此例中我们用了这样一个结论：1978的各次方幂的个位数字是以8，4，2，6循环出现，即，当r=1，2，3，4时，这种现象在数学上称为“模同期现象”.一般地，我们有如下定义： 整数列各项除以m（m≥2，m∈N*）后的余数组成数列.若是一个周期数列，则称是关于模m的周期数列，简称模m周期数列.满足（或（modm））的最小正整数T称为它的周期. 例8 （第29届IMO预选题）设a是方程的最大正根，求证：17可以整除[a1788]与[a1988].其中[x]表示不超过x的最大整数. 分析 探求是本题的关键，而a的值无法准确计算得到。所以本题通过韦达定理寻求了的递推形式。 证明 根据如下符号表可知，若设三根依次为， 则 x －1 － 1 [来源:学§科§网] 3 f(x)符号 － + + － － + [来源:Z*xx*k.Com] 。 另一方面，由韦达定理知， 为了估计[]、[]，先一般考察[an]，为此定义： 直接计算可知： 又因 当时， 由此知，命题变为证明：能被17整除. 现考察在模17的意义下的情况： 可见，在模17意义下，是16为周期的模周期数列，即由于 1788 故命题得证. 说明 本题利用导数估计了根的分布，递推式的构造需要仔细体味。 情景再现 7．设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值. 习题17 A 1．证明对于任何整数,能被7整除； 2．试判断能被3整除吗？ 3．求14＋24＋34＋…＋20044的末位数。 4．试证：对一切正整数n，能被8整除。 B 5．设是最初的几个质数的乘积，这里。证明p-1和p+1都不是完全平方数。 6．设a，b，c，d是4个整数，证明：差b－a，c－a，d－a，c－b，d－b，d－c的积能被12整除。 7．正整数n满足：十进制表示下的末三位数为888，求满足条件的最小的n值 。 8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂； C 9．在1，2，3，…1989，…1994中最多可以取多少个数，使得所取的 数中任意3个数之和能被18整除。 10．给出一个数198519841983…654321，它是由大到小依次写出自然数1985、1984、…、直到写出3、2、1后连接成一个数而成，现从其首位起，把首位数字乘以2加上第二位数字，把结果再乘以2后加上第三位数字，再把结果乘以2后加上第四位数字，…，这样一直算下去，直到个位数字为止，于是得到一个新的数，把新的数再按上述方法做一次，又得第二个数，…这样一直做下去，直到得到一个一位数为止，问得到的一位数是多少？ 11．设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证：a3b－ab3，b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除． 12．连结正n边形的顶点，得到一个闭的n年折线形，证明：当n为 偶数，则在连线中有两条平行线。 “情景再现”解答： 1． 2．解：3＋5＋7＋5＋6=26， 2003≡1(mod 11)，26＋x≡1(mod 11)Þx=8，即只要报8． 以后每次甲报k时，乙就报11－k即可． 3．将54个座位按逆时针由1开始编号：1，2，3，…… 如果满足要求的排法存在，则不妨设1和11是同一国的代表，从而11和21不是同一国的代表，故21和31是同一国家代表．进一步可以得出：和是同一国家的代表（若和大于54，则取它们被54除的余数为号码的位置，比如61即等同于7）． 特别地，取时，261和271是同一国家的代表，然而 ，． 即1和45是同一国家的代表，与1和11是同一国家的代表矛盾．命题得证． 4． a3+23=a3－1+24, ∴a3－1≡0 (m