高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第28讲__数列及其通项

第9讲 数列及其通项 本节主要内容：数列的基本知识，简单的递推和通项的转化 A类例题 例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是= ． (2000年江西、天津卷) 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式. 解法一： 由条件,可得,,,(负值舍去) 由此可猜想. 解法二： 由,可得 因为,所以故只有,即 所以…= 链接 ①形如的递归式,其通项公式求法为： ②形如的递归式,其通项公式求法为： 例2 . 已知an = ( n∈N* )，则在数列{an }的前20项中，最大项和最小项分别是() A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 . 分析 因为an =1+ 所以a1,a2 ,…,a9 组成递减数列，a1最大，a10最小; a10,a11 ,…,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算a1＜ a10, a9＜ a20. 所以在数列{ an }前20项中，最大项为a10，最小项为a9，故选B. 说明要确定数列{ an }的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察. 情景再现 1．已知数列{an} a1＝2，an+1＝ (n≥2)，求数列{an}通项an. 2．已知数列a1、a2、a3…满足(1) a1=;(2) a1+a2+…+an=n2an (n≥1)，确定an的值． (第7届加拿大中学生数学竞赛试题) B类例题 例3数列{an}中，al=2,an > 0 , －=1，求其通项公式. 解 令bn = 则bn+1－bn =1 , 故数列{ bn }是首项为1，公差为1的等差数列.所以bn =n 故an=2. 例4. 已知数列{an}满足且(n=1,2,3…)求a2004 . (第四届中国西部数学奥林匹古克) 解：由题设得an+2 an+1 －an+1 an=1,所以数列{ an+1 an }是一个首项为1,公差为1的等差数列,从而an+1 an=n, n=1,2,3… 于是, n=1,2,3… 所以 例5.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 分析 本题涉及数列的若干知识. 解 方法一：先考虑偶数项有： ……… 同理考虑奇数项有： ……… [来源:学科网] 综合可得 方法二：因为 两边同乘以，可得： 令 所以 ……… 说明 在数列中,属于知道数列的前几项和来求通项公式,我们发现数列的奇数项与偶数项相邻的两个之间的差为等比数列,利用累加法求出前n项求和公式,最后再利用前n项求和公式来求通项公式,通常累加法可以解决数列中相邻两项的差成等比数列或有规律的关系,可以采用累加法来解决. 链接 对于数学中比较难的题目,我们除了具备深厚的数学知识外,还要加四个能力,一个是阅读理解能力,一个是数学探究能力,一个是应用能力,一个是学习能力. 阅读理解能力即要读懂数学题目所讲的内容,包含题目中的隐含条件, 数学探究能力即就是题目的结论不明确，联想自己过去做的题, 应用能力即将一些数学知识与实际生活的某些方面相结合. 例6. 递增数列2，3，5，6，7，10，11，…由所有既不是平方数又不是立方数的正整数组成，求这数列的第500项． (美国第8届数学邀请赛) 分析：500既不是平方数又不是立方数，因此500必定是这个数列的某一项而且500在这数列中的序号必定小于500，考虑到1～500之间的平方数或立方数并不多，因而500的序号大约在450到500之间，首先定500的序号，再往后追寻，不难得出数列的第500项． 解：因222<500<232，那么在1～500之间有22个平方数；又73<500<83，那 么在l～500之间有7个立方数：l，8，27，64，125，216，343其中又是平方数的只有l和64两个数，因此在l～500之间的平方数或立方数共有22+7－2=27个．于是在1—500之问既不是平方数又不是立方数的正整数共有500－27=473个．故500是这个数列的第473项[来源:学科网ZXXK] 在第473项与第500项之间有27项，在500～527之间只有一个立方数83=512，没有平方数，因此这数列的第500项为500+28=528． 说明 在计算1到500之问的平方数或立方数个数时运用了容斥原理． 情景再现 3． 已知对任意n∈N有an>0且,求证an=n (1989年全国高中数学联赛) 4．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是 A.2046 　　　 B.2047 　　　 C.2048 　　 D.2049 (2003年全国高中数学联赛) C类例题 例7 数列{an}满足且a100=10098,求数列{an}的通项公式. (2005年上海市高中数学联赛) 解 已知等式可变形为 令,则有,当n≥2时,. 所以当n≥2时, ==…= 又∵, ∴. 故. ∵∴99(50a2－100+2)=10098. ∴a2=4. ∴an=(n－1)(n+2) (n≥3), 在已知等式中令n=1,可知a1=0,又a2=4. ∴an=(n－1)(n+2) (n≥1)都成立, 故数列{an}的通项公式为an=(n－1)(n+2) (n≥1). 例8 用下列方法给定数列{an}, a0 =, ak=( k=1,2,3…)证明：. 分析 将递推公式变形为.由此可证得且递推公式还变形为, 于是得由此可证明. 证明：(1)an<1. ak-得ak＞ak-1(k=1,2,3,…n),故an＞an-1 ＞…＞ak＞ak-1 ＞…＞a0=. 所以数列递增正数列. 由ak＞ak-1＞0得.将原将递推公式两边同除以akak-1变形为 令k=1,2,3,…,n.得以下不等式： 各不等式相加得 ,所以,即an＜1. (2) 证明 ,由递推公式得, 即,于是. 所以.由(1)得0＜ak-1＜an＜1.故由 ak-1+n＜n+1得, 因此.令k=1,2,3,…n.得以下不等式： 各不等式相加得 , 所以, 点评：将递推公式变形为相邻两项倒数的差的形式，即－==,然后将此差放大和缩小，得－,令k=l，2，…，n，将所得不等式相加，即可求得，从而得出．这种证明方法巧妙地应用了“放缩”技巧． 情景再现[来源:学科网ZXXK] 5． 证明：由条件a1、 a2∈Z,∈Z, 所确定的非负数列由全体整数组成,其中是其个数. (奥地利及保加利亚中学生数学竞赛试题) 6．正整数x1、x2、…、x7满足x6=144, xn+3=xn+2( xn+1+ xn),n=1,2,3,…,求x7. (1997年波兰中学生数学竞赛试题) 习题9 A类习题 1.写出一个数列的通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1) 1,3,5,7,9,… (2) ,,,,,… (3) 0，1，0，1． … (4)2,－6,12,－20,30,－42,… (5), ,,,… (6) 9,99,999,9999,… (7)7,77,777,7777,… (8)1,0,－1,0,1,0,－1,0,… 2.根据下列各数列{an}的首项和递推关系,写出它的前5项,并归纳出数列的通项公式： (1) a1＝1，an+1＝an+2n (2) a1＝1，an+1＝ 3.写出一个数列的通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a,b, a,b, a,b,… (2)a, a, b, b, a, a, b, b,… (3)1,1,2,2,3,3,4,4,… (4)1,1,1,2,2,2,3,3,3,… B类习题 4.已知数列中，，，求通项公式. 5.已知数列{an}, a1＝1，Sn+1＝4an+2, 求数列{an}通项an. C类习题 6．已知数列{an} a1＝1，an+1＝an+ + (n≥2)，求数列{an}通项an. 7． 若数列{an}中, an>0, a1=5, n≥2时， an+ an－1=+6.求数列{an}的通项公式. (2004年全国高中数学联赛河南省预赛) 本节“情景再现”解答： 1．解 an+1＝由两边取倒数，得 = +1,故数列{}是首项为，公差为1的等差数列. 所以=+n－1,故an= 2．由Sn=n2an得Sn－1=(n－1)2an－1,从而由Sn－Sn－1=n2an－(n－1)2an－1, 所以an= an－1 = · an－2= · ·an－3 = an－3=…= a1= 3．因为 = 故,同理 上述两式相减得： 所以,即数列{an}是公差为1的等差数列,故an=n. 4．注意到452＝2025，462＝2116， ∴　2026＝a2026－4５＝a1９８1，2115＝a 211５－4５＝a 20７0．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数． 又1981＋22＝2003， ∴　a 200３＝a 1９８1＋22＝2026＋22＝2048．故选Ｃ． 别解：将所得新数列按照第ｋ组含有2ｋ个数的规则分组：（2，３），（５，6，７，８），（10，11，12，1３，14，1５），…．设新数列的第2003项位于第n组，则有 2＋4＋6＋…＋2n≤2003，即n（n＋1）≤2003．得n≤44． 故新数列的第2003项为 44×45＋45＋23＝204８． 5． 即=故 即, 令, 则. 即数列{bn}是常数数列. 所以bn= b1=.又,, 由a1、 a2、b1∈Z得a3∈Z,又a2、 a3、b1∈Z得a4∈Z,…故得an∈Z.[来源:学科网ZXXK] 6． x6= x5(x4+x3)x1= x4(x3+x2) (x4+x2)= x3 (x2+x1) (x3+x2)[ x3 (x2+x1) +x3], x6=(x3+x2) (x2+x1) (x2+x1+1)=144=24×32 .又(x3+x2)≥2,所以(x2+x1) (x2+x1+1)≤23×32, 且x2+x1、x2+x1+1都是144的约数,所以x2+x1为2、3或8.①若x2+x1=2,则x1=x2=1,此时(x3+1)=24无实数根;②若x2+x1=3, 则得x1=1,x2=2或 x1=2,x2=1.当x1=1,x2=2时,(x3+2)=12无实数根.当x1=2,x2=1时,(x3+1)=12,即得x3=2,于是x4=6, x5=18,x7=3456;③若x2+x1=8,则(x3+ x2)=2,得x2= x3=1, x1=7,由此可得x4=x3 (x2+x1)=8,x5=x4 (x3+x2)=16, x7=x6 (x5+x4)=144×2