高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第02讲 二次函数与二次不等式

第2讲 二次函数与二次不等式 本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二次方程的解，是相应的二次函数中，函数值为0时的值，即此二次函数的图象在轴上的截距（函数图象与轴的交点的横坐标）。 二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值大于0时的值，即此二次函数的图象在轴上方时的取值范围；同样的，二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值小于0时的值，即此二次函数的图象在轴下方时的取值范围。因此， 一切实数 无解 无解 高次不等式可以先进行因式分解，再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。 A类例题 例1 设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，当为等边三角形时，求的值。 分析 欲求的值，需得到一个关于的方程。因为是抛物线的顶点，所以。由是等边三角形，得。只要以表示，则的值可求。 解 由函数，化简得。因而有，又设。则 由是等边三角形，得，即。 所以，由，得所求的值为 例2 当 时，解关于的二次不等式 （1）； （2）； （3）。 分析 解二次不等式，首先应判断相应的二次方程是否有实数根，然后再根据根的不同情况求解。 解 （1）因为 ， 又 ，得。 所以，原不等式的解为。 （2）由， 又 二次项系数大于0，所以，原不等式无解。 （3）因为 ， 由 及，得时，；当时， 所以，当 时，原不等式的解为 ； 当 时，原不等式的解为 。 例3 解高次不等式 （1） （2） 分析 高次不等式求解的基本方法是，运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多项式乘积，再通过积的符号法则求 解。 解 （1）， 由 1 2 得原不等式的解是。 （2） 由 0 1 3 得原不等式的解是 。 链接 对于形如的次多项式，将它的个根按数轴上大小顺序排列，全体实数被分成个区间。当由大到小依次取值时，每越过一个根，多项式中必有一个因式改变符号。因而，多项式在相邻两个区间上取的值符号相反。又当时，。据此，得 不等式的解集是 ； 不等式的解集是 。[来源:Zxxk.Com] 例如 解不等式。 由多项式的5个根依次为。所以， 不等式的解集是 ； 同样的，不等式的解集是 。 情景再现 1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点。若是直角三角形，求的值。 2．不等式恒成立，求的取值范围。 3．解关于 的不等式 （1）； （2）。 B类例题 例4 解不等式。 解 原不等式等价于 不等式的解集为，又当时，， 原不等式的解集为。 例5 已知不等式的解集是，求不等式的解集。 分析 求不等式的解，有两条思考途径。一是直接由条件推出的关系；二是寻找不等式与的联系。 解1 因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。 由 得 所以，不等式的解集为。 解2 因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。 于方程中，因为，得。设，方程可化为。 由是方程的两个根，得是方程的两个根。又方程的两根异号及，得。 所以，不等式的解集为。 例6 解关于的不等式：。 分析 由于题中的二次项系数含有参数，应先确定不等式类别，再求解。 解 （1）当时，原不等式为，解为； （2）当时， 时，由得原不等式的解为一切实数； 时，原不等式为，解为的所有实数； 时，，得原不等式的解为 ; 时，，得原不等式的解为 。 所以，原不等式 当时，解为； 当 时，解为； 当时，解为; 当时，解为的所有实数； 当时，解为一切实数。 情景再现 4．解不等式 。 5．不等式的解集是，求实数的值。 6．已知函数与，试确定的取值范围，使函数的图象在函数的图象的下方。 C类例题 例7设二次函数满足，且的图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式。 分析 本题给出了三个条件，“”，表明此二次函数图象的对称轴为；“在轴上的截距为1”，表明；“在轴上截得的线段长为”，表明。由此得如下解法。 解1 由，得函数的图象的对称轴为。故可设。 由，又， 得 （1） 又在轴上的截距为1，得 （2） 解（1）、（2），得 。 所以， 。 解2 设 由在轴上的截距为1，得；由，得，即。故。[来源:学科网] 由 及 ，得 。 所以， 。 解3 由函数满足及在轴上截得的线段长为，可得的两根为。故可设。 由在轴上的截距为1，得 。 所以， 。 例8已知，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。 分析 函数解析式可化为。它的图象是由两段抛物线弧组成，因此方程的三个不同的实数解表现为直线与其中一段抛物线弧有两个交点，与另一段抛物线弧仅有一个交点。观察它们的图象易知，当时，方程有一解；当时，方程有两解。 解 （1） 时，由，得。由两根之和为1，得此方程大于1的解至多一个。 设，原方程可化为 。原方程有一个大于1的解，即此方程有一个正解。由，得时，方程 有一个大于1的解； （2） 时，由，得。 设，原方程可化为 。原方程有两个小于1的解，即此方程有两个负解。 由，得时，方程 有两个小于1的解； 综合（1），（2），当时，关于的方程有三个不同的实数解。 例9 已知是实数，函数，， 当时，。 （1）证明：； （2）证明：当时，； （3）设，当时，的最大值为2，求。 分析 证明（1）、（2）的关键在于通过确定系数的取值范围，即用在区间上的值表示系数；（3）需要通过条件“当时，的最大值为2”，确定系数的值。由于题设条件中多为不等关系，因而需要注意“夹逼思想”的应用。 证明 （1）； （2）若， 当时， 。 由 ； 。 及，得； 若， 当时，。 同理可得。 所以，当时，； 解 （3）由, 在上，。 由 。[来源:学科网] 由 ，得时，二次函数取最小值，即是二次函数的图象的对称轴。因而，。 所以， 。 情景再现 7．已知抛物线与直线有两个公共点，它们的横坐标分别为，又直线与轴的交点坐标为。则满足的关系式是 （ ） 8．已知抛物线的顶点是，且方程的两个根之差为2，求的解析式。 9．已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，若时，。 （1） 试比较与的大小； （2） 证明：； （3） 当 时，求证：。 习题2 1．若不等式恰好有一个实数值为解，则的取值是 （ ） 2． 3。求关于的不等式的解。 4．设，若取任意实数，试比较与的大小。 5．已知关于的不等式恒成立。则实数的取值范围是 ( ) 6．已知关于的二次方程有两个整数根，且，求整数的值及相应的根。。 7．求出所有实数的值，使二次方程的两个根都是整数。 8．若对于，不等式 恒成立，求实数的取值范围。 9．已知二次函数和一次函数，其中均为实数，且 （1）证明 两函数的图像交于两个不同的交点； （2）求线段在x轴上的射影的长的取值范围。 10．证明不存在满足下列两个条件的二次多项式： （1）当时，； （2）。 答 案 情景再现 1． 由是直角三角形，得 ∽， 因此 2．原不等式可化为 ， 当时，原不等式为，恒成立； 当时， 综上，当时，原不等式恒成立。 3．（1）不等式 等价于 解得原不等式的解是或。 （2）因为不等式恒成立，所以 不等式 等价于。 解得原不等式的解是或。 4． 原不等式可化为 ， 因为 不等式 恒成立，又，得 当时，原不等式等价于不等式， 解得 或；经检验，当时，原不等式不成立。 所以，原不等式的解为 或。 5． 由题意，和是二次方程的两个根，所以，。 6． 由题意，。 由 ，得 。 所以，当时，函数的图象在函数的图象的下方。 7. 由 又 消去得 。所以，应选。 8． 设，则 由。 所以，。 9． 由题意， 是方程的根，又方程的两根之积为，所以方程的另一个根为，且。 （1） 若，则，次与矛盾。所以，；[来源:学#科#网] （2） 由，又，得； （3） 欲证不等式等价于 。 由，得。 由（2），得 。 因此，抛物线的开口向上，且对称轴位于轴左方。当 时，的值随着的值增加而增加。所以，当时 ，即原命题得证。 习题2 1． 不等式有唯一实数解，要求开口向上的抛物线的最小值为1。[来源:Z&xx&k.Com] 由，得。所以，应选。 2． 因为 ， 所以，原不等式的解为且。 3． 可化为， 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为。 4． 因为 恒成立，所以， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 。 5． 原不等式可化为 。因为 ，不等式的解为或。欲要原不等式恒成立，实数的取值范围是或。所以，应选。 6． 解不等式，得。 又，得。 由此方程有整数根， 得为完全平方数。所以，或。当时，原方程为，解得或； 当时，原方程为，解得或。 7． 由 ，得 化简得 ， 由 经检验， 所求的值为 8． 。 当 即 时， 当 即 时， 当 即 时， 综上，所求的取值范围是。 9．（1）由 因为，所以两函数的图像交于两个不同的交点； （2） 又 所以，线段在x轴上的射影的长的取