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第14讲 周期函数与周期数列
本节主要内容有周期;周期数列、周期函数.
周期性是自然规律的重要体现之一,例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位.在数学中,我们就经常遇见各种三角函数,这类特殊的周期函数,特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述,它们一定是一些简单的正弦周期函数的和.
作为认识自然规律的主要手段,数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念.在中学数学中,我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性,尽管形式十分简单,但与之相关的问题仍有待研究.中学数学里称函数的周期,没有特殊说明是指其最小正周期.
如果函数y=f(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(x+T)=f(x)
恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期.
一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N+)也是f(x)的周期.
1.若f (x+T)=-f ( x),则2T是f ( x)的周期,即f(x+2 T)= f ( x)
证明:f(x+2 T)= f(x+T+T)=- f(x+T)= f ( x),
由周期函数的性质可得f(x+2n T)= f ( x),(n∈Z)
2.若f (x+T)=±,则2T是f ( x)的周期,即f(x+2 T)= f ( x).
仅以f (x+T)=证明如下:
f(x+2 T)= f(x+T+T)= = f ( x).由周期函数的性质可得f(x+2n T)= f ( x),(n∈Z)
3.在数列中,如果存在非零常数,使得对于任意的非零自然数均成立,那么就称数列为周期数列,其中叫数列的周期.
A类例题
例1(2001年上海春季卷) 若数列前8项的值各异,且对任意的都成立,则下列数列中可取遍前8项值的数列为 ( )
A. B. C. D.
解析 由数列{an}前8项的值各异, 对任意n∈N+都成立,
得数列{an}的周期T= 8,则问题转化为2k+1, 3k+1, 4k+1, 6k+1中k= 1,2,3,…代入
被8除若余数能取到0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7即为答案.
经检验3k + 1可以,故可取遍{an}的前8项值.答案为B.
说明 本题还可以奇偶性的角度考虑,在2k+1, 3k+1, 4k+1, 6k+1中,2k+1, 4k+1, 6k+1都是奇数,除8后仍都是奇数,只有3k+1除8后余数能取到0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7.
例2 定义在R上的奇函数且f ( x+2)=f ( x-2),且f (1)= 2则f ( 2)+f (7)= .
解 因为f ( x+2)=f ( x-2),知f(x+2T)= f ( x).即f(x+4)= f ( x).
所以f(7)= f ( 3+4)= f(-1+4)= f ( -1)=- f ( 1)=-2.
f(-2)= f ( -2+4)= f(2)
所以f(2)= 0. 从而f ( 2)+f (7)=-2.
链接 若f (x+T)=±f ( x-T),
①f (x+T)=f ( x-T),2T是f ( x)的周期,即f(x+2 T)= f ( x)
证明:f(x+2 T)= f(x+T+T)=f(x+T-T)= f ( x)
②f (x+T)=-f ( x-T),4T是f ( x)的周期,即f(x+4T)= f ( x)
证明:f(x+2T)= f(x+T+T)=- f[(x+T)-T]=- f ( x)
所以由(一)可得f(x+4T)= f ( x).
情景再现
1.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),
求证:2|a-b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
2. 已知数列{}满足x1=1,x2=6,(n≥2),求x2006及S2006.
B类例题
例3定义在R上的奇数满足 f (1+x)=f (1-x),当时, f ( x)=2x-4,则时f ( x)=
因为f (1+x)=f (1-x), f (x)=f (-x),知f(x+4)= f ( x),
故当时, x+4, f ( x)= f(x+4)= 2x+4-4=2x.
又时,即-,所以f ( x)=- f ( -x)=- 2-x()
链接:若f (T +x)=±f (T -x),
(1) f (T +x)=f (T -x)
①若f ( x)是偶函数,则2T是f ( x)的周期,即f(x+2T)= f ( x)
②若f ( x)是奇函数,则4T是f ( x)的周期,即f(x+4T)= f ( x)
(2) f (T +x)=-f (T -x)
①若f ( x)是偶函数,则4T是f ( x)的周期,即f(x+4T)= f ( x)
②若f ( x)是奇函数,则2T是f ( x)的周期,即f(x+2T)= f ( x)
例4 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f()、f();
(2)证明f(x)是周期函数;
(3)记an=f(2n+),求 (2001年全国高考题)
分析 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力. 认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键.
解 (1) 因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=≥0,x∈[0,1][来源:学.科.网]
又因为f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2
f()=f(+)=f()·f()=[f()]2
又f(1)=a>0
∴f()=a,f()=a
(2)证明:依题意设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R, ∴f(-x)=f(2-x),x∈R.
将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
(3)解:由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]
∵f()=f(n·)=f(+(n-1) )=f()·f((n-1)·)
=……
=f()·f()·……·f()=[f()]n=a
∴f()=a.
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+)=f(),因此an=a
∴
例5 (1997年全国高中数学联赛)已知数列{}满足(n≥2),x1a, x2b, 记Snx1+x2+L+xn,则下列结论正确的是 ( )
A. x100=-a,S100=2b-a B.x100=-b,S100=2b-a C x100=-b,S100=b-a D .x100=-a,S100=b-a
解 因为=,于是得所以数列{}是周期数列,
其周期为6k(k∈Z),且x1+x2+L+x6=0,x100=x4=-x1 =-a.故S10016(x1+x2+L+x6)+x97+x98+L+x99+x100= x1+x2+ x3+x4=x2+x3=2b-a.
例6 设数列 a1 ,a2 ,a3 ,…, an,满足a1 = a2 =1, a3 =2,且对任意自然数n都有 an ·an+1 ·an+2≠1, an ·an+1 ·an+2 an+3= an +an+1 +an+2+an+3,求 a1 +a2 +a3+…+a100.
解 由an ·an+1 ·an+2 an+3= an +an+1 +an+2+an+3, ①
得an+1 ·an+2 ·an+3 an+4= an+1 +an+2 +an+3+an+4, ②
两式相减得:(an -an+4 )·(an+1 +an+2 an+3-1)=0,
由于an+1 +an+2 an+3≠1,所以an+4 =an .
又a1 = a2=1,a3=2,由①得2a4 =4+a4 ,所以a4=4.
故 a1 +a2 +a3+a4=8,于是 a1 +a2 +a3+…+a100=25(a1 +a2 +a3+a4)=200.
情景再现
3.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.
(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;
(Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}.
4. (2005年上海理科卷)在直角坐标平面中,已知点,,,…,,其中是正整数.对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的对称点,……,为关于点的对称点.
(1)求向量的坐标;
(2)当点在曲线上移动时,点的轨迹是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当时,,求以曲线为图象的函数在的解析式;
对任意偶数,用表示向量的坐标
C类例题
例7 .(2005年广东卷19)设函数,且在闭区间[0,7]上,只有
(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
解 (Ⅰ)由
,从而知函数的周期为
又,
,所以
故函数是非奇非偶函数;
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
链接 若f (a+x)=±f (a -x),且f (b+x)=±f (b -x),(a≠b)
(1)若f (a+x)=f (a -x),且f (b+x)=f (b -x),或f (a+x)=-f (a -x),且f (b+x)=-f (b -x),
则2(b-a)是f ( x)的周期,即f[x+2( b-a)]= f ( x)
证明:因为f (2a+x)=f [a+(a +x)]=f (2a-x)=f (-x),
同理f (2b+x) =f (-x),
因为f[x+2( b-a)]= f[2b+(x-2a)]= f[(x-2a)]= f ( x)
或f (2a+x)=f [a+(a +x)]=-f [a-(a-x)]=-f (-x),
同理f (2b+x) =-f (-x),
因为f [x+2(b-a)] = f [2b+(x-2a) =- f [2a+(-x)] = f (x).
(2)若f (a+x)=f (a -x),且f (b+x)=-f (b -x),或f (a+x)=-f (a -x),且f (b+x)=f (b -x),
则4(b-a)是f ( x)的周期,即f[x+4( b-a)]=- f (- x).(证明留给读者完成)
例8数列{ an }满足 an = an-1- an-2 (n ≥3).如果它的前1492项之和是1985, 而它的前1985项之和是1492.那么前2 001项的和是多少?
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