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第14讲 周期函数与周期数列
本节主要内容有周期；周期数列、周期函数．
周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和．
作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．
1．若f (x＋T)=－f ( x)，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)
证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=－ f(x＋T)= f ( x)，
由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)
2．若f (x＋T)=±，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)．
仅以f (x＋T)=证明如下：
f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)= = f ( x)．由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)
3．在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期．
A类例题
例1（2001年上海春季卷） 若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ）
A． B． C． D．
解析 由数列{an}前8项的值各异， 对任意n∈N＋都成立，
得数列{an}的周期T= 8，则问题转化为2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中k= 1，2，3，…代入
被8除若余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即为答案．
经检验3k ＋ 1可以，故可取遍{an}的前8项值．答案为B．
说明 本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中，2k＋1， 4k＋1， 6k＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k＋1除8后余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7．
例2 定义在R上的奇函数且f ( x＋2)=f ( x－2)，且f (1)= 2则f ( 2)＋f (7)= ．
解 因为f ( x＋2)=f ( x－2)，知f(x＋2T)= f ( x)．即f(x＋4)= f ( x)．
所以f(7)= f ( 3＋4)= f(－1＋4)= f ( －1)=－ f ( 1)=－2．
f(－2)= f ( －2＋4)= f(2)
所以f(2)= 0． 从而f ( 2)＋f (7)=－2．
链接 若f (x＋T)=±f ( x－T)，
①f (x＋T)=f ( x－T)，2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)
证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=f(x＋T－T)= f ( x)
②f (x＋T)=－f ( x－T)，4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x)
证明：f(x＋2T)= f(x＋T＋T)=－ f[(x＋T)－T]=－ f ( x)
所以由(一)可得f(x＋4T)= f ( x)．
情景再现
1．已知函数f(x)对任意实数x，都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，
求证:2|a－b|是f(x)的一个周期．(a≠b)
2． 已知数列{}满足x1=1，x2=6，(n≥2)，求x2006及S2006．
B类例题
例3定义在R上的奇数满足 f (1＋x)=f (1－x)，当时， f ( x)=2x－4，则时f ( x)=
因为f (1＋x)=f (1－x)， f (x)=f (－x)，知f(x＋4)= f ( x)，
故当时， x＋4， f ( x)= f(x＋4)= 2x＋4－4=2x．
又时，即－，所以f ( x)=－ f ( －x)=－ 2－x()
链接：若f (T ＋x)=±f (T －x)，
(1) f (T ＋x)=f (T －x)
①若f ( x)是偶函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x)
②若f ( x)是奇函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x)
(2) f (T ＋x)=－f (T －x)
①若f ( x)是偶函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x)
②若f ( x)是奇函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x)
例4 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0．
(1)求f()、f();
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记an=f(2n＋)，求 （2001年全国高考题）
分析 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力． 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口．由f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键．
解 (1) 因为对x1，x2∈［0，］，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，所以f(x)=≥0，x∈［0，1］[来源:学.科.网]
又因为f(1)=f(＋)=f()·f()=［f()］2
f()=f(＋)=f()·f()=［f（）］2
又f(1)=a>0
∴f()=a，f()=a
(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，x∈R．
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R， ∴f(－x)=f(2－x)，x∈R．
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x＋2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
(3)解：由(1)知f(x)≥0，x∈［0，1］
∵f()=f(n·)=f(＋(n－1) )=f()·f((n－1)·)
=……
=f()·f()·……·f()=［f()］n=a
∴f()=a．
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n＋)=f()，因此an=a
∴
例5 (1997年全国高中数学联赛)已知数列{}满足(n≥2)，x1a， x2b， 记Snx1＋x2＋L＋xn，则下列结论正确的是 ( )
A． x100=-a，S100=2b-a B．x100=-b，S100=2b-a C x100=-b，S100=b-a D ．x100=-a，S100=b-a
解 因为=，于是得所以数列{}是周期数列，
其周期为6k(k∈Z)，且x1＋x2＋L＋x6=0，x100=x4=－x1 =－a．故S10016(x1＋x2＋L＋x6)＋x97＋x98＋L＋x99＋x100= x1＋x2＋ x3＋x4=x2＋x3=2b－a．
例6 设数列 a1 ，a2 ，a3 ，…， an，满足a1 = a2 =1， a3 =2，且对任意自然数n都有 an ·an＋1 ·an＋2≠1， an ·an＋1 ·an＋2 an＋3= an ＋an＋1 ＋an＋2＋an＋3，求 a1 ＋a2 ＋a3＋…＋a100．
解 由an ·an＋1 ·an＋2 an＋3= an ＋an＋1 ＋an＋2＋an＋3， ①
得an＋1 ·an＋2 ·an＋3 an＋4= an＋1 ＋an＋2 ＋an＋3＋an＋4， ②
两式相减得：(an －an＋4 )·(an＋1 ＋an＋2 an＋3－1)=0，
由于an＋1 ＋an＋2 an＋3≠1，所以an＋4 =an ．
又a1 = a2=1，a3=2，由①得2a4 =4＋a4 ，所以a4=4．
故 a1 ＋a2 ＋a3＋a4=8，于是 a1 ＋a2 ＋a3＋…＋a100=25(a1 ＋a2 ＋a3＋a4)=200．
情景再现
3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时f(x)=x2．
(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;
(Ⅱ)对自然数k，求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}．
4． (2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数．对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，……，为关于点的对称点．
(1)求向量的坐标；
(2)当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，，求以曲线为图象的函数在的解析式；
对任意偶数，用表示向量的坐标
C类例题
例7 ．(2005年广东卷19)设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．
解 （Ⅰ）由
，从而知函数的周期为
又，
，所以
故函数是非奇非偶函数;
(II) 又
故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数在[－2005，2005]上有802个解．
链接 若f (a＋x)=±f (a －x)，且f (b＋x)=±f (b －x)，(a≠b)
(1)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)，
则2(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋2( b－a)]= f ( x)
证明：因为f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=f (2a－x)=f (－x)，
同理f (2b＋x) =f (－x)，
因为f[x＋2( b－a)]= f[2b＋(x－2a)]= f[(x－2a)]= f ( x)
或f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=－f [a－(a－x)]=－f (－x)，
同理f (2b＋x) =－f (－x)，
因为f [x＋2(b－a)] = f [2b＋(x－2a) =－ f [2a＋(－x)] = f (x)．
(2)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)，
则4(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋4( b－a)]=－ f (－ x)．(证明留给读者完成)
例8数列{ an }满足 an = an－1－ an－2 (n ≥3)．如果它的前1492项之和是1985， 而它的前1985项之和是1492．那么前2 001项的和是多少?
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