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第51讲 圆
对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一，在高考和数学竞赛中也很常见，学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式：
1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)．
2．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
①当D2＋E2－4F＞0时，该方程表示圆，圆心(－，－)，半径r＝；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点(－，－)(点圆)；
③当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何曲线(虚圆)．
3．以(x1，y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0；
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为r的圆的参数方程(θ为参数)
同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用．
与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解．
A类例题
例1．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )
A． B． C． D．(2000年全国高考题)
分析 由于(x，y)在圆上，则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题．
解 如图，方程(x－2)2＋y2＝3的图形为圆心在(2，0)，半径为r＝的圆．
设＝k，则k为y＝kx的斜率，显然k的最大值是在直线y＝kx与圆在x轴上方相切时得到，即直线OM的斜率为k的最大值．
又|AM|＝，|OA|＝2，则∠MOA＝．
于是可得的最大值是k＝tan＝，故选D．
说明 这里运用数形结合的思想，把视为圆上一点(x，y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招．
本题也可以直接解出：以y＝kx代入圆的方程(k2＋1)x2－4x＋1＝0，这是关于x的二次方程，Δ＝4－(k2＋1)≥0，解得k2≤3，则k的最大值为．
例2．自点A(－3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程．(1989年全国高考题)
分析 考虑作出已知圆关于x轴的对称图形——圆C'，则两条入射光线均与圆C'相切，以此为突破口解决问题．
解 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，
它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1， ①
设光线L所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定）
由题设知对称圆的圆心C'(2，－2)到这条直线的距离等于1，
即d＝＝1．
整理得，12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－，或k＝－．
故所求的直线方程是y－3＝－(x＋3)，或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
例3．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．(1997年全国高考题)
分析 要求圆心到直线的距离最小的圆的方程，必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小，可以把本题先化成一个最值问题，解决之后再来求圆的方程．
解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r，故r2＝2b2．
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1．
从而得2b2－a2＝1．
又点P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为d＝，
所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1．当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得或
由于r2＝2b2，则r＝．
于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．
解法二 同解法一得d＝，
所以，a－2b＝±d，得a2＝4b2±4bd＋3d2， (1)
将a2＝2b2－1代入(1)式，整理得
2b2±4bd＋5d2＋1＝0 (2)
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
Δ＝(±4d)2－4×2×(5d2＋1)＝8(5d2＋1)≥0，
解得5d2≥1．
所以5d2有最小值1，从而d有最小值为．
将其代入(2)式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1．
将b＝±1代入r2＝2b2，r2＝2，由r2＝a2＋1得a＝±1．[来源:学#科#网]
综上a＝±1，b＝±1，r2＝2，[来源:学科网]
由|a－2b|＝1知，a，b同号，于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．
说明 在解题的过程中，要体会如何合理刻画最值．
情景再现
1．过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 (2001年全国高考题)
2．已知当且仅当k满足a≤k≤b时，两曲线x2＋y2＝4＋12x＋6y与x2＋y2＝k＋4x＋12y有公共点，则b－a的值为 ；(上海市2001高中数学竞赛)
3．求过原点且与直线x＝1及圆(x－1)2＋(y－2)2＝1都相切的圆的方程．
B类例题
例4．设a、b是方程x2＋cotθ·x－cscθ＝0的两个不等实根，那么过点A(a，a2)和B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．随θ的值而变化(第九届全国希望杯邀请赛)
分析 可以先求出过A、B的直线方程，然后运用圆心到直线的距离与半径的大小比较，确定直线与圆的位置关系．
解 选B．
根据题意，得
即
因此，A(a，a2)和B(b，b2)都在直线ysinθ＋xcosθ－1＝0上．
所以过A、B的直线方程为xcosθ＋ysinθ－1＝0． (1)
因此原点到该直线的距离d＝＝1．
故过A、B的直线与单位圆相切．故选B．
说明 1．本题求过A、B的直线的方程的方法很重要，也很简洁．读者也可以思考一下其他解法比较一下．
2．判断直线与圆的位置关系常用两种方法：①消去x，或y之一，得到一个一元二次方程，判断Δ的符号；②运用圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较进行判断．
3．式(1)即是直线l的法线式方程，其中熟字“1”就是原点与直线l的距离．
例5．已知直角坐标平面上一点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．(1994年全国高考题)
分析 按求轨迹方程的常规方法，设动点M的坐标为(x，y)，将动点M满足的条件等式转化为解析表达式，化简得轨迹方程，特别要注意题中的隐含条件：二次方程的二次项系数为0时退化为一次方程，由此引起对λ的讨论．
解 如图设MN切圆于N，则动点M组成的集合为[来源:学,科,网Z,X,X,K]
P＝{M||MN|＝λ|MQ|}
式中常数λ＞0．
因为圆的半径|ON|＝1，
所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1．
设点M的坐标为(x，y)，则
＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且相交于点(，0)；
当λ≠1时，方程化为(x－)2＋y2＝，它表示圆，该圆圆心的坐标为(，0)，半径为．
说明 本题中轨迹方程的探求、对λ的讨论及对轨迹所表示的曲线的研究都有一定的难度，应注意理解和掌握．
例6．实数x、y满足方程x2＋y2＝6x－4y－9，求2x－3y的最大值与最小值的和．(第十届全国希望杯数学邀请赛)
分析 方程x2＋y2＝6x－4y－9，即(x－3)2＋(y＋2)2＝4表示一个圆，可以写出这个圆的参数方程，从中求出2x－3y的最大值与最小值．
解法一 由x2＋y2＝6x－4y－9，得(x－3)2＋(y＋2)2＝4，
于是可设即
则2x－3y＝2(3＋2cosθ)－3(－2＋2sinθ)＝4cosθ－6sinθ＋12＝2cos(θ＋j)＋12，
所以2x－3y的最大值为12＋2，
2x－3y的最小值为12－2．
因此，2x－3y的最大值与最小值之和为24．
解法二 设2x－3y＝c，代入x2＋y2＝6x－4y－9，消去y，整理得
13x2－(4c＋30)x＋(c2－12c＋81)＝0，
此关于x的方程Δ≥0，即(4c＋30)2－4×13×(c2－12c＋81)≥0，即c2－24c＋92≤0．
方程c2－24c＋92＝0的两根为c1、c2(c1＜c2)，显然c1≤c≤c2，
故cmax＋cmin＝c1＋c2＝24．
说明 本题也可以这样解决：2x－3y＝c表示斜率为的平行线簇，从而只要求直线与圆有公共点的条件即可得出cmax和cmin．由≤2，解得|12－c|≤2，即12－2≤c≤12＋2，故cmax＋cmin＝c1＋c2＝24．
情景再现
4．(1)圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z)的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 (2002年北京市春季高考题)
(2)在圆x2＋y2－5x＝0内，过点(，)有三条弦的长度成等比数列，则其公比的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
(河北省2000年高中数学竞赛)
5．知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆过原点．若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，若c＝10，＝＝，P为△ABC内切圆上一动点，d为点P到顶点A、B、C的距离的平方和，则dmin＋dmax＝ ；(第六届河南省高中数学竞赛)
C类例题
例7．已知：正数m取不同的数值时，方程x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0表示不同的圆．
求这些圆的公切线的方程．(福州市高中数学竞赛题)
解 化圆方程为(x－2m－1)2＋(y－m)2＝m2．
故圆心坐标为(2m＋1，m)，半径为m．
若直线y＝kx＋b是这些圆的公切线，则必须而且只需对于一切正数m恒有
＝m
两边平方并整理得，
(3k2－4k)m2＋2(k＋b)(2k－1)m＋(k＋b)2＝0．
从而
解得或
故这些圆有两条公切线，其方程分别为y＝0或y＝x－．
例8．三个圆，半径都是3，中心分别在(14，92)、(17，76)、(19，84)，过点(17，76)作一条直线，使得这三个圆位于这条直线某一侧的部分的面积和等于这三个圆位于这条直线另一侧的部分的面积的和．
求这条直线的斜率的绝对值．(第2届美国数学邀请赛)
解 首先注意到这三个圆是互相外离的等圆．记O1(14，92)，O2(19，84)，O3(17，76)．
由于过O3的直线总把⊙O3分为等积的两部分，因此，只要考虑过平面上怎样一点所画的直线与⊙O1、⊙O2相交且使直线两侧的面积相等．
记O1O2的中点为M，则M为两等圆⊙O1和⊙O2的对称中心，因此过M且与⊙O1、⊙O2都相交的直线能满足题目的要求．
因此，所求直线应过M和O3的直线，
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