第25讲反三角函数与三角方程
本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．
反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．
一．反正弦函数
1．定义：函数y＝sinx(x∈[-，])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsinx(x∈[－1，1])
这个式子表示：在区间[-，]内，正弦函数值为x的角就是arcsinx，
即 sin(arcsinx)＝x， x∈[－1，1]
2．反正弦函数的性质：
⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-，]．
⑵ 在定义域上单调增；
⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即
arcsin(－x)＝－arcsinx， x∈[－1，1]
⑷ y＝arcsinx的图象：与y＝sinx(x∈[-，])的图象关于y＝x对称．[来源:学科网]
⑸ arcsin(sinx)的值及y＝arcsin(sinx)的图象：
arcsin(sinx)＝x， x∈[-，]
二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：
1．定义：函数y＝cosx(x∈[0，p])的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosx(x∈[－1，1])
这个式子表示：在区间[0，p]内，余弦函数值为x的角就是arccosx，
即 cos(arccosx)＝x， x∈[－1，1]
2．反余弦函数的性质：
⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，p]．
⑵ 在定义域上单调减；
⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即
arccos(－x)＝p－arccosx， x∈[－1，1]
⑷ y＝arccosx的图象：与y＝cosx(x∈[0，p])的图象关于y＝x对称．
⑸ arccos(cosx)的值及y＝arccos(cosx)的图象：
arccos(cosx)＝x， x∈[0，p]
三．反正切函数
1．定义：函数y＝tanx(x∈(-，))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctanx(x∈R)．
这个式子表示：在区间(-，)内，正切函数值为x的角就是arctanx，
即 tan(arctanx)＝x， x∈R
2．反正切函数的性质：
⑴ 定义域为R；值域为(-，)．
⑵ 在定义域上单调增；
⑶ 是R上的奇函数，即
arctan(－x)＝－arctanx， x∈R
⑷ y＝arctanx的图象：与y＝tanx(x∈(-，))的图象关于y＝x对称．
⑸ arctan(tanx)的值及y＝arctan(tanx)的图象：
arctan(tanx)＝x， x∈(-，)
四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．
A类例题
例1证明：⑴ cos(arcsinx)＝；sin(arccosx)＝； tan(arccotx)＝．并作它们的图象．
⑵ sin (arc tan x)＝ ； tan(arcsinx)＝ ；
cos(arctanx)＝ ； tan(arccosx)＝ ．
证明：⑴ 设arcsinx＝a，则a∈[－，]，且sina＝x，于是，cosa＝，即cos(arcsinx)＝ ；
同理可证其余．
⑵ 设arctanx＝a，则a∈(-，)，tana＝x．于是，seca＝，
所以，sina＝tana·cosa＝，就是sin(arctan x)＝；同理可证其余．
说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．
例2证明：⑴ arcsinx＋arccosx＝， x∈[－1，1]
⑵ arctanx＋arccotx＝， x∈R
证明：令arcsinx＝a，arccosx＝b，则a∈[-，]，b∈[0，p]，－b∈[-，]
而 sina＝x，sin(－b)＝cosb＝x，即sina＝sin(－b)，但a与b都在区间[-，]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而a＝－b．就是arcsinx＋arccosx＝．
同法可证⑵．
说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．
例3计算：⑴ sin(arcsinx＋arcsiny)；x，y∈[－1，1]
⑵ cos(arccosx＋arccosy)．x，y∈[－1，1]
解：⑴ sin(arcsinx＋arcsiny)＝x＋y．
⑵ cos(arccosx＋arccosy)＝xy－·．
情景再现
1．若arctanx＋arctany＋arctanz＝p，证明：x＋y＋z＝xyz； ⑵ 证明：cot[arctanx＋arctan(1－x)]＝1－x＋x2．
2．设f(x)＝x2－πx, α＝arcsin，β＝arctan,γ＝arc cos(－),d＝arc cot(－ ),则
A．f(α)＞f(β)＞f(d)＞f(γ) B．f(α)＞f(d)＞f(β)＞f(γ)
C．f(d)＞f(α)＞f(β)＞f(γ) D．f(d)＞f(α)＞f(γ)＞f(β)
3．函数y＝arc cos(-x2)的值域是
A．[-，] B．[-，] C．[，π] D．[，π]
B类例题
例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．
解：设 arccot3＝a，arccot7＝b，arccot13＝g，arccot21＝d，则0
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