第25讲反三角函数与三角方程
本讲主要内容:反三角函数的概念、运算与解三角方程.
反三角函数:三角函数在其整个定义域上是非单调的函数,因此,在其整个定义域上,三角函数是没有反函数的.但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了.
一.反正弦函数
1.定义:函数y=sinx(x∈[-,])的反函数就是反正弦函数,记为y=arcsinx(x∈[-1,1])
这个式子表示:在区间[-,]内,正弦函数值为x的角就是arcsinx,
即 sin(arcsinx)=x, x∈[-1,1]
2.反正弦函数的性质:
⑴ 定义域为[-1,1];值域为[-,].
⑵ 在定义域上单调增;
⑶ 是[-1,1]上的奇函数,即
arcsin(-x)=-arcsinx, x∈[-1,1]
⑷ y=arcsinx的图象:与y=sinx(x∈[-,])的图象关于y=x对称.[来源:学科网]
⑸ arcsin(sinx)的值及y=arcsin(sinx)的图象:
arcsin(sinx)=x, x∈[-,]
二.反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到:
1.定义:函数y=cosx(x∈[0,p])的反函数就是反余弦函数,记为y=arccosx(x∈[-1,1])
这个式子表示:在区间[0,p]内,余弦函数值为x的角就是arccosx,
即 cos(arccosx)=x, x∈[-1,1]
2.反余弦函数的性质:
⑴ 定义域为[-1,1];值域为[0,p].
⑵ 在定义域上单调减;
⑶ 是[-1,1]上的非奇非偶函数,即
arccos(-x)=p-arccosx, x∈[-1,1]
⑷ y=arccosx的图象:与y=cosx(x∈[0,p])的图象关于y=x对称.
⑸ arccos(cosx)的值及y=arccos(cosx)的图象:
arccos(cosx)=x, x∈[0,p]
三.反正切函数
1.定义:函数y=tanx(x∈(-,))的反函数就是反正切函数,记为y=arctanx(x∈R).
这个式子表示:在区间(-,)内,正切函数值为x的角就是arctanx,
即 tan(arctanx)=x, x∈R
2.反正切函数的性质:
⑴ 定义域为R;值域为(-,).
⑵ 在定义域上单调增;
⑶ 是R上的奇函数,即
arctan(-x)=-arctanx, x∈R
⑷ y=arctanx的图象:与y=tanx(x∈(-,))的图象关于y=x对称.
⑸ arctan(tanx)的值及y=arctan(tanx)的图象:
arctan(tanx)=x, x∈(-,)
四.反余切函数 请根据上面的内容自己写出.
A类例题
例1证明:⑴ cos(arcsinx)=;sin(arccosx)=; tan(arccotx)=.并作它们的图象.
⑵ sin (arc tan x)= ; tan(arcsinx)= ;
cos(arctanx)= ; tan(arccosx)= .
证明:⑴ 设arcsinx=a,则a∈[-,],且sina=x,于是,cosa=,即cos(arcsinx)= ;
同理可证其余.
⑵ 设arctanx=a,则a∈(-,),tana=x.于是,seca=,
所以,sina=tana·cosa=,就是sin(arctan x)=;同理可证其余.
说明 本题给出了反三角函数运算的方法:把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角,把反三角函数的运算改成三角函数的运算.
例2证明:⑴ arcsinx+arccosx=, x∈[-1,1]
⑵ arctanx+arccotx=, x∈R
证明:令arcsinx=a,arccosx=b,则a∈[-,],b∈[0,p],-b∈[-,]
而 sina=x,sin(-b)=cosb=x,即sina=sin(-b),但a与b都在区间[-,]内,在此区间内正弦函数是单调增函数,从而a=-b.就是arcsinx+arccosx=.
同法可证⑵.
说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式.
例3计算:⑴ sin(arcsinx+arcsiny);x,y∈[-1,1]
⑵ cos(arccosx+arccosy).x,y∈[-1,1]
解:⑴ sin(arcsinx+arcsiny)=x+y.
⑵ cos(arccosx+arccosy)=xy-·.
情景再现
1.若arctanx+arctany+arctanz=p,证明:x+y+z=xyz; ⑵ 证明:cot[arctanx+arctan(1-x)]=1-x+x2.
2.设f(x)=x2-πx, α=arcsin,β=arctan,γ=arc cos(-),d=arc cot(- ),则
A.f(α)>f(β)>f(d)>f(γ) B.f(α)>f(d)>f(β)>f(γ)
C.f(d)>f(α)>f(β)>f(γ) D.f(d)>f(α)>f(γ)>f(β)
3.函数y=arc cos(-x2)的值域是
A.[-,] B.[-,] C.[,π] D.[,π]
B类例题
例4求10cot(arc cot3+arc cot7+arc cot13+arc cot21)的值.
解:设 arccot3=a,arccot7=b,arccot13=g,arccot21=d,则0
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