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第11讲 数列的求和
本节主要内容有Sn与an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等．
1.重要公式
①1+2+…+n=n(n+1)
②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)
③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2
2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=
3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn．
4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：
5.错项相消法
6.并项求和法
A类例题
例1 已知数列｛an｝的通项公式满足：n为奇数时，an=6n－5 ，n为偶数时，an=4 n ，求sn.
分析 数列｛an｝的前n项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部分成等比数列，用等比数列求和公式。但数列总项数n的奇偶性不明，故需分类讨论.
解 若n为偶数2m，则S2m=1+13+25+…+[6(2m－1)－5]+42+44+…+42m=6m2－5m+(42m－1)，
Sn=.
若n为奇数2m+1时，则
S2m+1=S2m+6(2m+1)－5=6m2+7m+1+(42m－1)，
Sn=.
说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成，常采纳先局部后整体的策略，对子数列分别求和后，再合并成原数列各项的和.类似地，若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分，也可采纳先局部后整体的策略.
例2(2004年湖南卷类) 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列．
（I）证明 12S3，S6，S12－S6成等比数列；
（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2．
分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后写出12S3，S6，S12－S6，并证明它们构成等比数列．对于第(2)问，由于 Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2．所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题．
解 （Ⅰ）证明 由成等差数列， 得，
即 变形得
所以（舍去）．
由
得 所以12S3，S6，S12－S6成等比数列．
（Ⅱ）解：
即 ①
①×得：
所以
说明 本题是课本例题：“已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列{an}是等比数列，Sn是其前 n项的和，a1，a7，a4 成等差数列，求证2 S3，S6，S12－S6成等比数列”的改编．
情景再现
1．(2000年全国高考题)设为等比数例，，已知，．
（Ⅰ）求数列的首项和公式；（Ⅱ）求数列的通项公式．
2． (2000年全国高中数学联赛)设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.
B类例题
例3 (2004年重庆卷) 设
（1）令求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
分析 利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.
解 （1）因
故{bn}是公比为的等比数列，且
（2）由
注意到可得
记数列的前n项和为Tn，则
说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列{an}的前项和Sn=2an－1(n=1,2,3,L)，数列{bn}满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3L).求数列{bn}的前n项和.
分析 由数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=可得an.
解 由可得an+1=2an即数列{an}是等比数列,故an=2n－1,又由ak=bk+1－bk
得bn=b1 +a1+ a2+ a3+…+ an－1 =3+=
所以Sn =b1+ b2+ b3+…+ bn=1+2+22+…+2n－1+2n=
例5 (2004年全国理工卷) 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(－1)n,n≥1.
(1)写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对任意的整数m>4，有.
分析 由数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系,求an,应考虑将an与an -1或 an+1其转化为的递推关系,再依此求an. 对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.
解 (1)当n=1时,有：S1=a1=2a1+(－1) a1=1；
当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(－1)2a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(－1)3a3=2；
综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
(2)由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.
故 ∴
数列{}的通项公式为：.
⑶由已知得：
.
故( m>4).
说明 本题是一道典型的代数综合题，是将数列与不等式相结合，它的综合性不仅表现在知识内容的综合上，在知识网络的交汇处设计试题，更重要的是体现出在方法与能力上的综合，体现出能力要素的有机组合．
虽然数学是一个演绎的知识系统，并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法，但从数学的发展来看，“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的一个重要途径，是学生应该学习和掌握的，是数学教育不可忽视的一个方面：要求应用已知的知识和方法，分析一些情况和特点，找出已知和未知的联系，组织若干已有的规则，形成新的高级规则，尝试解决新的问题，这其中蕴含了创造性思维的意义．
例6 设{ an }为等差数列，{ bn}为等比数列，且, ,,又, 试求{ an }的首项与公差． (2001年全国高中数学联赛)
分析 题中有两个基本量{ an }中的首项 a1 和公差d是需要求的，利用, ,成等比数列和给定极限可列两个方程，但需注意极限存在的条件．
解 设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得
化简得：
解得： 而，故a1＜0
若，则
若，则
但存在，故| q |＜1，于是不可能．
从而
所以
说明 本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识，用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意及时取舍，如由题意推出d＞0， a1＜0，等，在解题中都非常重要．
情景再现
3． 设二次函数的所有整数值的个数为g(n).
（1）求g(n)的表达式.
（2）设
（3）设的最小值.
4． 设函数的图象上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，若，且点P的横坐标为．
(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
(2)若，n∈N*，求Sn；
(3)记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
C类例题
例7 给定正整数n和正数M，对于满足条件≤ M的所有等差数列a1，a2，…，an，，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值． (1999年全国高中数学联赛试题)
分析 本题属于与等差数列相关的条件最值问题，而最值的求解所运用的方法灵活多样，针对条件的理解不同，将有不同的解法．
解 (方法一)：设公差为d, an+1=a.则S=an+1+an+2+…+a2n+1=,所以
另一方面,由M≥ ===,
从而有且当时
=,
由于此时故==M,
因此S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值为．
(方法二)：三角法 由条件≤ M故可令,,其中.
故S= an+1+an+2+…+a2n+1=
其中,因此当,时,
S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值为．
说明 在解答过程中，要分清什么是常量，什么是变量，注意条件和结论的结构形式．解法一通过配方来完成，解法二运用三角代换的方法，解法三运用二次方程根的判别式来完成，解法四则主要运用了柯西不等式．本题人口宽，解法多样，对培养学生的发散思维能力很有好处．
例8 n 2(n≥4)个正数排成几行几列：
a11 a12 a13 a14 … a1n，
a21 a22 a23 a24 … a2n，
a31 a32 a33 a34 … a3n，
… …
an1 an2 an3 an4 … an n，
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知“a24=1， a42 , a43,
求a11 +a22 +a33 +…+ ann. (1990年全国高中数学联赛试题)
分析 由于等差数列可由首项与公差惟一确定，等比数列可由首项与公比惟一确定，如果设a11=a第一行数的公差为d，第一列数的公比为q，容易算得as t=[a+(t－1)]qs－1，进而由已知条件，建立方程组，求出n，d，q．
解 设第一行数列公差为d，各列数列公比为q，则第四行
数列公差是dq2.于是可得方程组：
,解此方程值组,得.
由于所给n2个数都是正数,故必有q＞0,从而有.
故对任意1≤k≤n,有.
故S=+++…+.
又S=+++…+.
两式相减后可得： S=+++…+
所以S=2－－.
说明 这道试题涉及到等差数列、等比数列、数列求和的有关知识和方法．通过建立方程组确定数列的通项；通项确定后，再选择错位相减的方法进行求和．
情景再现
5．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项．
6．己知数列{an}满足：a1=1,an+1=an+
(1)求证:14＜ a100＜ 18;
(2)求a100的整数部分[a100].
习题11
A类习题
1.若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且，则等于 （ ）
A． B． C． D．
2.各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于 ( )
A.150 B.－200 C.150或－200 D.400或－50 (1998年全国高中数学联赛试题)
3.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是 ( )
A.5 B. 6 C.7
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