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第11讲 数列的求和
本节主要内容有Sn与an的关系;两个常用方法:倒写与错项;各种求和:平方和、立方和、倒数和等;∑符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有:倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等.
1.重要公式
①1+2+…+n=n(n+1)
②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)
③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2
2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式:an=
3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
4.裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:
5.错项相消法
6.并项求和法
A类例题
例1 已知数列{an}的通项公式满足:n为奇数时,an=6n-5 ,n为偶数时,an=4 n ,求sn.
分析 数列{an}的前n项可分为两部分,一部分成等差数列,用等差数列求和公式;另一部分成等比数列,用等比数列求和公式。但数列总项数n的奇偶性不明,故需分类讨论.
解 若n为偶数2m,则S2m=1+13+25+…+[6(2m-1)-5]+42+44+…+42m=6m2-5m+(42m-1),
Sn=.
若n为奇数2m+1时,则
S2m+1=S2m+6(2m+1)-5=6m2+7m+1+(42m-1),
Sn=.
说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成,常采纳先局部后整体的策略,对子数列分别求和后,再合并成原数列各项的和.类似地,若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分,也可采纳先局部后整体的策略.
例2(2004年湖南卷类) 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4 成等差数列.
(I)证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列;
(II)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.
分析 (1)对于第(l)问,可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比,然后写出12S3,S6,S12-S6,并证明它们构成等比数列.对于第(2)问,由于 Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题.
解 (Ⅰ)证明 由成等差数列, 得,
即 变形得
所以(舍去).
由
得 所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.
(Ⅱ)解:
即 ①
①×得:
所以
说明 本题是课本例题:“已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列”的类题,是课本习题:“已知数列{an}是等比数列,Sn是其前 n项的和,a1,a7,a4 成等差数列,求证2 S3,S6,S12-S6成等比数列”的改编.
情景再现
1.(2000年全国高考题)设为等比数例,,已知,.
(Ⅰ)求数列的首项和公式;(Ⅱ)求数列的通项公式.
2. (2000年全国高中数学联赛)设Sn=1+2+3+…+n,nÎN,求f(n)=的最大值.
B类例题
例3 (2004年重庆卷) 设
(1)令求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
分析 利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.
解 (1)因
故{bn}是公比为的等比数列,且
(2)由
注意到可得
记数列的前n项和为Tn,则
说明 本题主要考查递推数列、数列的求和,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列{an}的前项和Sn=2an-1(n=1,2,3,L),数列{bn}满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3L).求数列{bn}的前n项和.
分析 由数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式:an=可得an.
解 由可得an+1=2an即数列{an}是等比数列,故an=2n-1,又由ak=bk+1-bk
得bn=b1 +a1+ a2+ a3+…+ an-1 =3+=
所以Sn =b1+ b2+ b3+…+ bn=1+2+22+…+2n-1+2n=
例5 (2004年全国理工卷) 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an +(-1)n,n≥1.
(1)写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对任意的整数m>4,有.
分析 由数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系,求an,应考虑将an与an-1或 an+1其转化为的递推关系,再依此求an. 对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.
解 (1)当n=1时,有:S1=a1=2a1+(-1) a1=1;
当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;
当n=3时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;
综上可知a1=1,a2=0,a3=2;
(2)由已知得:
化简得:
上式可化为:
故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.
故 ∴
数列{}的通项公式为:.
⑶由已知得:
.
故( m>4).
说明 本题是一道典型的代数综合题,是将数列与不等式相结合,它的综合性不仅表现在知识内容的综合上,在知识网络的交汇处设计试题,更重要的是体现出在方法与能力上的综合,体现出能力要素的有机组合.
虽然数学是一个演绎的知识系统,并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法,但从数学的发展来看,“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的一个重要途径,是学生应该学习和掌握的,是数学教育不可忽视的一个方面:要求应用已知的知识和方法,分析一些情况和特点,找出已知和未知的联系,组织若干已有的规则,形成新的高级规则,尝试解决新的问题,这其中蕴含了创造性思维的意义.
例6 设{ an }为等差数列,{ bn}为等比数列,且, ,,又, 试求{ an }的首项与公差. (2001年全国高中数学联赛)
分析 题中有两个基本量{ an }中的首项 a1 和公差d是需要求的,利用, ,成等比数列和给定极限可列两个方程,但需注意极限存在的条件.
解 设所求公差为d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
化简得:
解得: 而,故a1<0
若,则
若,则
但存在,故| q |<1,于是不可能.
从而
所以
说明 本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识,用到方程的思想和方法,且在解题过程中要根据题意及时取舍,如由题意推出d>0, a1<0,等,在解题中都非常重要.
情景再现
3. 设二次函数的所有整数值的个数为g(n).
(1)求g(n)的表达式.
(2)设
(3)设的最小值.
4. 设函数的图象上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且点P的横坐标为.
(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(2)若,n∈N*,求Sn;
(3)记Tn为数列的前n项和,若对一切n∈N*都成立,试求a的取值范围.
C类例题
例7 给定正整数n和正数M,对于满足条件≤ M的所有等差数列a1,a2,…,an,,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值. (1999年全国高中数学联赛试题)
分析 本题属于与等差数列相关的条件最值问题,而最值的求解所运用的方法灵活多样,针对条件的理解不同,将有不同的解法.
解 (方法一):设公差为d, an+1=a.则S=an+1+an+2+…+a2n+1=,所以
另一方面,由M≥ ===,
从而有且当时
=,
由于此时故==M,
因此S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值为.
(方法二):三角法 由条件≤ M故可令,,其中.
故S= an+1+an+2+…+a2n+1=
其中,因此当,时,
S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值为.
说明 在解答过程中,要分清什么是常量,什么是变量,注意条件和结论的结构形式.解法一通过配方来完成,解法二运用三角代换的方法,解法三运用二次方程根的判别式来完成,解法四则主要运用了柯西不等式.本题人口宽,解法多样,对培养学生的发散思维能力很有好处.
例8 n 2(n≥4)个正数排成几行几列:
a11 a12 a13 a14 … a1n,
a21 a22 a23 a24 … a2n,
a31 a32 a33 a34 … a3n,
… …
an1 an2 an3 an4 … an n,
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知“a24=1, a42 , a43,
求a11 +a22 +a33 +…+ ann. (1990年全国高中数学联赛试题)
分析 由于等差数列可由首项与公差惟一确定,等比数列可由首项与公比惟一确定,如果设a11=a第一行数的公差为d,第一列数的公比为q,容易算得as t=[a+(t-1)]qs-1,进而由已知条件,建立方程组,求出n,d,q.
解 设第一行数列公差为d,各列数列公比为q,则第四行
数列公差是dq2.于是可得方程组:
,解此方程值组,得.
由于所给n2个数都是正数,故必有q>0,从而有.
故对任意1≤k≤n,有.
故S=+++…+.
又S=+++…+.
两式相减后可得: S=+++…+
所以S=2--.
说明 这道试题涉及到等差数列、等比数列、数列求和的有关知识和方法.通过建立方程组确定数列的通项;通项确定后,再选择错位相减的方法进行求和.
情景再现
5.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有 项.
6.己知数列{an}满足:a1=1,an+1=an+
(1)求证:14< a100< 18;
(2)求a100的整数部分[a100].
习题11
A类习题
1.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
2.各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于 ( )
A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 (1998年全国高中数学联赛试题)
3.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是 ( )
A.5 B. 6 C.7
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