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第8讲 截面、面积与体积
本节内容主要有截面，会作截面及侧面展开图，欧拉公式，正多面体、柱、锥、台的面积与体积的求法以及用体积法求长度．
A类例题
求证：平面截正方体所得的截面三角形不可能为直角三角形．
解：△PQR中PQ2＋PR2＝2PB2＋BR2＋BQ2
＝2PB2＋QR2＞QR2，
故∠QPR为锐角，同理∠PQR，∠QRP也是锐角，
故△PQR不可能是直角三角形．
一间平房的屋顶有如图的三种盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法的屋顶面积分别为P1 、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ ）
①
③
②
A．P1＜P2＜P3 B．P1＝P2＜P3 C．P1＜P2＝P3 D．P1＝P2＝P3
（2001年高考）
解：由于侧面投影的面积是侧面积的，而三个图中的底面积相同，故侧面积相同．
答案：D
情景再现
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A． B． C． D．
（2000年高考·天津卷）
已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°
正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）
A． B． C．2πa2 D．3πa2
（1995年高考·全国）
B类例题
有三个12㎝´12㎝的正方形，连接相邻两边的中点把正方形分割成A、B两块，再把它们粘在一个正六边形上，叠成一个多面体．这个多面体的体积是多少？
解一：所得多面体可提成是由一个正三棱锥再截去三个角得出．
据已知得，正六边形底面的边长AB=6，
大正三棱锥的底面边长XY=18．边心距OS=3．
斜高=ST=´12=9．
高PH==6．
体积=´(18)2´6=972．
截去的三个小三棱锥的底面是正三角形，边长XA=XF=AF=6．
侧棱KF=KA=6，
PX===18，KX=18－12=6．于是小三棱锥也是正三棱锥．其体积=972´()3．
3个小正三棱锥体积和=972´()3´3=108．
∴ 所求体积=972－108=864㎝3．
解二：反过来看，PX、PY、PZ两两垂直，知DPXY为等腰直角三角形．于是由AB=6，得XY=18．从而PX=18．其体积VPXYZ=´183=972．
又KA、KF、KX也两两垂直．从而VKAFX=()3´VPXYZ=36．于是可得所求体积=972－36´3=864．
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积．
（2000年上海高考）
解：建立空间直角坐标系，令A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）．设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0）
则＝｛1，1，0｝，＝｛0，－2，z｝，
设与所成角为θ．
则·＝·cosθ＝－2，且AD与BE所成的角的大小为arccos．
∴cos2θ＝＝，∴z＝4，故|BD|的长度为4．
又VA—BCD＝|AB|×|BC|×|BD|＝，因此四面体ABCD的体积为．
说明：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算．以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便．
如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面a与对角线AC¢垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（ ）
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
（2005全国高中数学联赛）
解：设截面在底面内的射影为EFBGHD，设AB＝1，AE＝x（0≤x≤），则l＝3［x＋（1－x）］＝3为定值；
而S＝［1－x2－（1－x）2］secθ＝（－x－x2）secθ（θ为平面a与底面的所成角）不为定值．
答案：B
情景再现
若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器皿中，量得水面的高度为6 cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A．6cm B．6cm C．2 cm D．3 cm
（1999年高考·全国）
E
F
C
B
A
D
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF＝，EF 与 面AC的距离为2，则该多面体的体积为________．
A． B．5
C．6 D．
（1999年高考·全国）
如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R＝______．
A．10 B．15 C．20 D．25
（1999年高考·全国）
C类例题
一个圆台的上底半径为5，下底半径为10，母线AA1=20．一只蚂蚁从AA1中点M绕圆台侧面一周到达A．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
⑴ 求蚂蚁爬行的最短距离．
⑵ 求蚂蚁在沿最短线爬行的过程中，它与上底圆周上点的最短距离．
解：把圆台展开，得到一个扇环．
扇环圆心角=´2p=．
由比例计算可得PA=40．ÞPM=30，MA'=50．
由于点P到MA'的最短距离==24．而24>40－20=20．
∴ 蚂蚁爬行的最短距离为50㎝，
在爬行过程中它与上底圆周上点的最短距离为4㎝．
已知：四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求顶点D到底面的距离．
解：（1）如图甲设AB=13，AC=15，将图甲中的三棱锥补成如乙所示的长方体，由此三棱锥的体积就转化成长方体的体积与四个相等的三棱锥的体积之差．
设长方体的三边长分别为x，y，z，则：
，解得
∴V长方体＝xyz＝126．而VC－ABE＝21，
∴VD－ABC＝V长方体－4VC－ABE＝42．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（2）设D到底面的距离为h，则：
cosB＝＝＝，∴sinB＝．[来源:学科网]
V＝·S△ABCh，∴h＝
在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF．如图
（1）求证：A′F⊥C′E．
（2）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）
（2001年高考上海）
解：建立坐标系，
（1）证明：设AE＝BF＝x，则A′（a，0，a），F（a－x，a，0），C′（0，a，a），E（a，x，0）
∴＝｛－x，a，－a｝，＝｛a，x－a，－a｝．
∵·＝－xa＋a（x－a）＋a2＝0[来源:学科网]
∴A′F⊥C′E
（2）解：设BF＝x，则EB＝a－x，三棱锥B′—BEF的体积
V＝x（a－x）·a≤（）2＝a3当且仅当x＝时，等号成立．
因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE＝BF＝，
过B作BD⊥EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE＝BF＝，BD是斜边上的高．∴BD＝a．∴tanB′DB＝＝2．
故二面角B′—EF—B的大小为arctan2．
说明：本题用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度．
设ABC－A1B1C1为底面边长为a的正三棱柱，P、Q在A1C上，R、S在BC1上，且四面体P－QRS是正四面体．求P－QRS的棱长．
解：设AA1=h．正四面体相对棱互相垂直，故PQ⊥RS，即A1C⊥BC1．
取AC中点D，则BD⊥面AA1C1C，于是C1D为BC1在面AA1C1C上的射影．
若A1C⊥BC1，则A1C⊥C1D．
在面AA1C1C中，a∶h=h∶a，Þh=a．设C1D与A1C交于点M．
则CM=a，C1M=a，BD=C1D=a．
过M作MN⊥BC1，交BC1于N．则MN⊥A1C(A1C⊥面BC1D)及MN⊥BC1，知MN为A1C及BC1的公垂线．
MN=C1M·=a．
由于正四面体对棱中点连线为对棱的公垂线．故MN即PQ与RS中点的连线．
在正四面体中对棱的公垂线(对棱中点连线)等于边长的倍，即PQ=RS=a．
于是PM=MQ=RN=NS=a．
又可由异面直线上两点距离公式求得P－QRS各棱长均为a．
情景再现
是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）证明AD⊥D1F；[来源:学&科&网]
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A1FD1；
（4）设AA1=2，求三棱锥E—AA1F的体积VE－AA1F
（97年全国高考）
在边长为5＋的正方形ABCD内以A为圆心画一个扇形，再画一个⊙O，它与BC，CD相切，切点为M，N．又与扇形的弧切于K点（如图），把扇形围成圆锥的侧面，⊙O为圆锥的底面，求圆锥的体积．
习题八
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
（2005年高考·吉林、黑龙江、广西）
已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为60°，则圆台的体积与球体积之比_______
（1995年高考·全国·文）
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为（ ）
A． B． C．a3 D．a3
（1996年高考·全国·理）
母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（ ）
A．π B．π C．π D．π
（1996全国·理）
如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S0，那么（ ）
A．20＝＋ B．0＝ C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2SS′
（1998年高考）
长方形ABCD的长AB是宽BC的2倍，把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合．而长方形对角线AC与折痕EF、GH分别交于M、N，求平面AMN与棱柱底面所成的角．
一个圆锥的高为定值h，圆锥顶角的大小可以变化，球C1是圆锥的一个内切球，球C2是与圆锥侧面及球C1都相切的球，求当球C1的半径R为何值时，球C2的表面积最大，并求这个最大值．
已知圆锥体的底面半径为R，高为h，内接于这个圆锥的圆柱的高为x，当x为何值时，圆柱的体积最大？求出这个体积．
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝｛2，－1，－4｝，＝｛4，2，0｝，＝｛－1，2，－1｝．
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积；
（3）对于向量a＝{x1，y1，z1}，b＝{x2，y2，z2}，c＝{x3，y3，z3}，定义一种运算：
（a×b）·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，
试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义．
（2000年上海春季高考）
在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明
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