高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第01讲 二次函数的图象和性质

第1讲 二次函数的图象和性质 本讲内容包括二次函数的图象和性质，二次函数在给定区间上的最值。 二次函数是具有典型意义的初等函数，它的图象是以垂直于轴的直线为对称轴的抛物线。其中，二次项系数决定了抛物线的形状（的符号和||的大小分别确定抛物线的开口方向和开口大小）；常数是抛物线在轴上的截距（抛物线与轴的交点的纵坐标）；一次项系数与图象的左右平移有关。 二次函数中，当时，若，即，则函数值随着自变量的增加而减少；若，即，则函数值随着自变量的增加而增加；当时，若，即，则函数值随着自变量的增加而增加；若，即，则函数值随着自变量的增加而减少。当时，二次函数取最小值（）或最大值（）。其中， 为叙述方便，我们用符号表示的函数。表示时，函数的值。如，则 A类例题 例1如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则 （ ） 分析 由于所给的条件是二次函数的图象即函数的“形”的特征，欲求的结论是关于系数的不等式即函数的“数”的性质。因此，解题的关键在于确定结论中系数及其表达式的几何意义，进而通过图象进行判断。 解1 设，则。由图象可知，，故可以排除A 、B。由，，得。又，因此，又可以排除D。所以，本题应选C。 解2 由，，得。又，即，因此，，所以，本题应选C。 例2 二次函数的图象的对称轴是直线，试比较的大小。 分析 二次函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为。若时，函数值随着自变量的增加而减少；若时，函数值随着自变量的增加而增加。为便于比较函数值的大小，首先运用图象的对称性将所求的函数值对应的值移入同一个单调区间，以利于运用函数的增减性质求解。 解 由是二次函数的图象的对称轴，得。又二次函数中，因而当时，函数值随着自变量的增加而增加。所以，。 评注 对于二次函数，若，二次函数图象上的点到对称轴距离越近，此点对应的函数值越小，在顶点处取得最小值；反之，若，二次函数图象上的点到对称轴距离越近，此点对应的函数值越大，在顶点处取得最大值。 例3 二次函数的最大值是14，且，求二次函数。 分析 二次函数的解析式可以表示为；或，其中是函数的图象与轴的交点的横坐标；或，其中直线是抛物线的对称轴，当时，函数取最值。求二次函数的解析式只需根据题意选择适当的标准形式，并确定其中的参数。 解1 设二次函数的解析式为，由题意， 所以，二次函数的解析式为 解2 由，得2和是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。故可设，于是 ， 由，所以， 二次函数的解析式为 解3 由，得二次函数的图象的对称轴为即。故可设，由，解得。所以，二次函数的解析式为 情景再现 1．当时，函数有最小值，又，求的值。[来源:学科网] 2．设，二次函数的图像为下列之一 则的值为 ( ) （A） （B） （C） （D） 3. 若函数满足，则的大小关系是 （ ） 不能确定 B类例题 例4 若对任何实数抛物线都过一定点，求此定点的坐标。 分析1 先运用特殊化方法求出定点的坐标，再证明抛物线都过这一定点。 解1 令 令 由（1）、（2）解得 将代入，等式成立。所以，对任何实数抛物线都过定点（4，33）。 分析2 将看作关于的方程，原命题即为当为何值时，方程的解为一切实数。 解2 可化为 。 当且仅当 即时，的解为一切实数。所以对任何实数抛物线恒过定点 例5 如果函数对任意实数t都有，那么 （ ） 分析 等式表明，函数的图象上到直线距离相等的两点的纵坐标相等，即直线是函数的图象的对称轴。因此，。 解 由，得函数的对称轴是 ，因而有。又当时，函数的值随着增加而增加。所以，。故本题应选。 评注（1）若函数对任意实数x都有, 则函数的图象关于直线对称； （2）本题也可以由得到。 由因此，。 例6 已知函数求 （1）在上的最大值和最小值； （2）在上的最大值和最小值。 分析 二次函数在实数范围内或有最大值，或有最小值；但在给定区间上，它的图象是一段抛物线弧，可以既有最大值，也有最小值。通常运用配方法求解。 解 . （1）由 ，得 当时，函数取最大值； 当时，函数取最小值。 （2）由 ，得 当时，函数取最大值； 当时，函数取最小值。 评注 二次函数在给定区间上的图象是一段抛物线弧。（1）所给区间上的抛物线弧段不含抛物线顶点，保持单调递增，因此它的最值分别在抛物线弧段的两个端点实现；（2）所给区间上的抛物线弧段含抛物线顶点，因此它的最值分别在抛物线的顶点及抛物线弧段的两个端点之一实现。 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 情景再现 4．若实数，证明抛物线 过两个定点，并求出这两个定点间的距离。 5．设二次函数，求此函数的最值。 6．已知二次函数在区间上 的最大值为1，求实数的取值范围。 C类例题 例7 设是方程的两根。求满足，，的二次函数。 分析 二次函数的解析式中，共有三个待定系数。题设条件中有三个等式，故本题可运用列方程组方法求解。 解1 设二次函数，由题意， （1）+（2）， （1）-（2） 由（3）、（4）、（5）解得 因此，所求函数为 解2 由，可设二次函数，则 （1）+（2） （1）--（2） 由（3）、（4）解得 因此，所求函数为 例8 已知，求的最小值的表达式，并求的最大值。 分析 由于是二次函数在给定区间上的最小值。在求 的表达式时，需要注意二次函数所表示的抛物线弧段是否包含顶点。表示，其中称为闭区间。 解 若，即时，； 若 ，即时，。 当时，，得；当时，。 所以，的最大值为（此时）。 例9 求的最大值。 分析 本题是二次函数的最值问题，但所给区间是区间长度为1的“流动区间”。因此，原函数的图象是一段“流动的抛物线弧”。当时，抛物线的顶点在弧的中点，此时有。由此得如下解法。 解 由 得原函数图象的对称轴是，且当时，函数值随着自变量的增加而减少；当时，函数值随着自变量的增加而增加。 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是。 所以，函数的最大值是 情景再现 7．若抛物线上有两点，， （1）求证抛物线与轴有两个交点，且满足； （2）若，且均为整数，求此抛物线的函数表达式。 8．若为正数，函数在区间上的最大值为，试求的解析式及的最小值。 习题1 1．二次函数与正比例函数图象的位置关系是 （ ） A 相离 B 相切 C 相交 D 不能确定，与k的值有关 2．抛物线的顶点为且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则中为正数的 （ ） 3．在下列各图中，与的图象只可能是 （ ） A B C D 4．当时，二次函数有最大值25，函数图象与轴的两个交点的横坐标的平方和等于13，求二次函数的解析式。 5．设抛物线过点和 （1）用表示； （2）对任意非零实数，抛物线都不过点，求的值。 6．某工厂科研组对一项生产工艺流程总结出产量指标函数和消耗指示函数分别为：和，且知。 （1）分别求出的解析式； （2）问因素取何值时，函数分别取最大值或最小值，最值各是多少？ 7．当时，二次函数有最小值2，最大值3。求实数的取值范围。 8．求函数在[1，8 ]上的最值。 9．已知的最小值 求实数的取值范围。 10．已知，若表示函数在上的最小值，求在闭区间上的最大值。 答案 情景再现 1． 2．。对称轴为若，由，得对称轴位于轴的左边（舍去）；若，则仅有第3图适合。由图象过原点，得。又，得。应选。 3．。由，得原二次函数的图象关于对称。所以，。应选。 4．可化简为。 由，解得或。即抛物线恒过两定点和。它们的距离为。 5．。因为，所以，当时，， ； 当时，， 。 6．。 （1）当时，，由， 若即时 ； 若即时， （舍去）； （2）当时，抛物线的开口向上。 因为 ，所以此区间的中点的横坐标为。 若即时， ，解得（舍去）； 若即， ，解得。 综上，所求的实数的值为或。 （注：上述解法条理清晰。本题也可以利用“二次函数在闭区间上的最值，只可能在二次函数图象的顶点或此闭区间的端点处达到”这一性质，通过计算和检验求解。）