江苏省苏州市2023届高三上学期12月阶段性检测数学试卷+答案

2022~2023学年第一学期苏州市阶段性检测 2022.12 高 三 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（    ）．（氟原子的大小可以忽略不计） A． B． C． D． 3．已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（    ） A． B．17 C． D．15 4．已知点，是与方向相同的单位向量，则在直线上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A．B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　） A．（-1，0） B．（1，4） C．（0，6） D．（-1，5） 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分。 9．如图所示，已知几何体是正方体，则（    ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为60° D． 10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（    ） A．B的最小值为 B． C． D．的取值范围为 11．已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆上存在点使得 C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为 D．的最小值为 12．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B． C．曲线存在对称轴 D．曲线存在对称中心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知是第四象限角，且，则___________. 14．已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________. 15．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 16．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为________________ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(10分) 设数列的前项和为，若，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明： 18．(12分) 在中，角的对边分别为已知. (1)求角的大小； (2)边上有一点，满足，且，求周长的最小值. 19．(12分) 已知直三棱柱，，，． (1)证明：∥平面； (2)当最短时，求二面角的余弦值． 20．(12分) 在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3． (1)若cos∠CBD＝，求； (2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值． 21．(12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，. (1)求椭圆E的标准方程； (2)如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M， N，记和的面积分别为S1和S2. （i）求证：存在常数λ，使得成立； （ii）求S2- S1的最大值. 22．(12分) 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)记，存在满足，证明： ①存在唯一极小值点； ②. 参考答案： 1．B 【分析】根据集合的意义，结合交运算即可判断和选择. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：. 2．D 【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积. 【详解】如图，连接，设交于点，连接， 因为，为的中点，也是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 令相邻两个氟原子之间的距离为，则，， 因为，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以， 所以该正八面体的体积是， 故选：D 3．A 【分析】令，结合已知有，列方程求参数a、b，进而求复数的模. 【详解】若，则，而， 由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点）， 所以，即，则， 所以. 故选：A 4．A 【分析】求得的坐标，以及在方向的投影，即可求得结果. 【详解】根据题意可得：， 故在方向的投影为，则在直线上的投影向量为. 故选：A. 5．D 【分析】若在区间上单调递增，满足两条件： ①区间的长度超过；② 的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围. 【详解】，     ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增， 则 解得， 当时，， 当时，， 当取其它值时不满足，      ∴的取值范围为， 故选：D 6．A 【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论． 【详解】设，圆半径为，则， 时，，， 时，如下图，，， 又， 所以，， 由正弦函数的图象知，只有A满足题意． 故选：A． 7．A 【分析】根据，的特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小. 【详解】设，则， 故单调递减，故， 由， 设函数，则， 当时，，递减，当时，，递增， 故，即，当时取等号， 由于 ，故，即， 故， 故选：A. 【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小. 8．D 【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围. 【详解】解：设，AB的中点，则，所以， 又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即， 因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以， 又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以， 整理得，即，解得， 所以点B的横坐标的取值范围是， 故选：D. 9．BC 【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形， 所以与所成角为，所以与所成角为， 所以A选项错误，C选项正确. 根据正方体的性质可知平面平面， 由于平面，所以平面，B选项正确. 根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形， 所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误. 故选：BC 10．BC 【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断. 【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则， ∴，，A错． 对选项B， ，B对． 对于选项C，，C对． 对于选项D，令，则，∴b＝aq，，∴， ∴，D错． 故选：BC 11．ABD 【分析】对于A，根据点在椭圆外利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为上下顶点处；对于C，根据点与椭圆的位置关系确定距离最值；对于D，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为， 因为在椭圆外，所以解得， 因为，所以，故A正确； 对于B，当点位于上下顶点时，最大， 此时， ， 所以为钝角，所以椭圆上存在点使得，故B正确； 对于C，由离心率，所以， 所以椭圆方程为，设点, 则， 当时有最大值为,此时,故C错误； 对于D，， ，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值， 故D正确； 故选:ABD. 12．ABC 【分析】根据配方法、函数对称的性质、导数、正弦函数的性质，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以，当且仅当时，故A正确； B：等价于，设，， 所以函数在时单调递增， 因此有，即， 而设函数，， 所以是实数集上的偶函数，因此有， 即，，，故B正确； C：因为， 所以曲线关于直线对称，故C正确； D：设曲线存在对称点，设为，则有， 当时，则有， 当时，则有， 即， 因此有，所以为整数，， 令，， 而， 显然不恒成立，故D不正确. 故选：ABC. 13． 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合同角三角函数关系式求得，继而求得，从而利用诱导公式求得答案. 【详解】由可得，即， 所以，解得或（舍去）， 因为是第四象限角，故， 所以， 故答案为：. 14．8 【分析】设出线段的中点，由垂径定理得到，由基本不等式求出，从而得到△ABC的面积最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为4， 设线段的中点为， 由垂径定理得：， 由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 故答案为：8 15．13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 16．A 【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 所以函数是奇函数， 由， 可知在上单调递增， 所以函数为R上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于 ， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：A. 17．(1) (2)证明见解析