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青岩书院高一12月月考数学试题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知角的终边经过点,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）如图．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（ ）
A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟
6．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②
7．已知函数的周期为，当时，，若，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
A．f(x)=|x| B．f(x)=x-|x| C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x
10. 对，成立的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
11．下列结论不正确的是（ ）
A．若角与角的终边关于轴对称，则
B．函数的单调增区间为
C．若，则与是终边相同角 D．若，则
12．下列几个说法，其中正确的有（ ）
A．已知函数的定义域是，则的定义域是
B．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
C．已知关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值
范围是 或
D．若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则___________.
14．已知正数，满足，则的最小值为______．
15．已知函数是定义在上的偶函数，且，则m的取值范围的集合是______.
16．已知函数，若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）
（3）
18.（12分）已知集合，．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值和最大值.
20．（12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本（不考虑收益）最少？
21.（12分） 已知函数（且）.
（1）求函数的定义域；
（2）若，求函数的值域；
（3）是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知函数＝，k∈R．
(1)讨论函数的奇偶性（写出结论，不需要证明）；
(2)如果当x∈[0,2]时，的最大值是6，求k的值．
月考参考答案
1~8 CCDB BBBD 9~12 ABD AC BCD AD
14. 18 15. 16.
17.解：（1）； .......3分
. .......3分
(3)原式= .......4分
18.（1）解：（1）由，即，
所以，
由，即，解得
所以， .......3分
∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，
∴，解得，即； .......3分
（2）解：因为命题为假命题，
所以为真命题， .......2分
设，则
即， .......3分
解得，所以，即． .......1分
19.（1），所以，函数的最小正周期； .......3分
（2）由，得.
即函数的单调递增区间为； .......3分
（3）因为，所以，
所以，当时，函数取最小值； .......2分
当时，函数取最大值. .......2分
20.（1）当时，设该工厂获利为，
则， .......3分
所以当时，，
因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损． .......3分
（2）二氧化碳的平均处理成本， .......2分
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故取得最小值为，
所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． .......4分
21.解：(1)由，解得的定义域为. .......2分
(2)：当时，，.
因为的定义域是，所以，
所以，，
所以，
所以的值域是. .......5分
(3)因为函数在上的值域为，又，且，
由的定义域得，所以.
①当时，因为在上单调递减，所以函数在 上单调递增，
所以，即，
因为，所以，所以无解.
（或者因为，所以，所以无解），
故此时不存在实数a，b满足题意. .......2分
②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，
所以，即，
解得或（舍），.综上，存在实数，. .......3分
22.(1)
当k＝0时是奇函数，当k≠0时，是非奇非偶函数； .......4分
(2)
由题设，， .......2分
1、当11＜k，即k＞2时，在上是增函数，
∵1＞2，
∴在[0,2]上是增函数； .......2分
2、当k11，即k＜2时，在(1，+∞)上是增函数，
∵1＜0，
∴在[0,2]上是增函数； .......2分
∴或，在x∈[0,2]上的最大值是，解得k＝1（舍去）或k＝3；
3、当，即2≤k≤2时，在[0,2]上为增函数，
令2|2k|+4＝6，解得k＝1或k＝3（舍去）．
综上，k的值是1或3． .......2分
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用交集的定义直接求解
【详解】解：因为集合，
所以，
故选：C
2．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】根据扇形的面积公式及弧长公式求解即可.
【详解】由题知：，解得.
弧长，
所以扇形的周长为.
故选：C
3．已知角的终边经过点,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由三角函数的定义可得
则.
故选：D
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．B
【解析】
【分析】
结合指数与对数函数的单调性分别确定的范围,进而可比较大小得选项.
【详解】
解:，，，故.
故选：B.
5．新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（ ）
A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟
【答案】B
【分析】先求出函数的表达式，再令即可求解
【详解】由题意可知：，
又图象过点，则，解得，
所以，
当时，令，解得，
故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，
故选：B
6．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②
【答案】B
【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选：B．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．已知函数的周期为，当时，，若，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】在同一个坐标系中画出和的图象，观察交点的个数，从而得到函数的零点个数.
【详解】根据题意，画出，的图象，
根据的周期为，将其向左右延伸，
再画出的图象，
观察交点一共有4个，
所以函数有4个零点，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关判断函数零点个数的问题，在解题的过程中，利用数形结合思想，再同一个坐标系中画出两个函数图象，利用交点个数判断函数零点个数，属于中档题目.
8．已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为
的值域为：，
，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
二、多选题
9．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
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