2021高考数学一轮复习第五章数列解答题专项突破三数列的综合应用学案含解析

解答题专项突破(三)数列的综合应用 从近几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有：①以客观题的形式考查等差、 等比数列的运算和性质，试题多以常规题为主；②等差、等比数列的通项与求和问题；③非 等差、等比数列的通项与求和问题，此时常用到递推关系或转化成等差、等比的形式进行求 解；④与函数、不等式等进行综合考查. 备考时要熟练掌握等差、等比两种基本数列的通项与前"项和的求解，同时，针对性地 掌握求数列通项公式与前n项和的几种常用方法.针对具体问题选取针对性的解决方案进行 求解. 热点题型1等差数列与等比数列的判定和通项问题 典例 1 已知数列仏”｝满足 ai = l, a2=|,且[3 + ( - l)"]a” + 2 - 2a” + 2[(-1)" - 1] = 0, »€ * N . ⑴求“3, "4, "5,如的值； ⑵求数列｛"”｝的通项公式. 解题思路(1)根据(3 - 1>3 - 2© + 2( - 1 - 1) = 0, (3 + 1)“4-2“2 + 2(1 - 1) = 0, (3 — 1 )殆—2如 + 2( — 1 — 1) = 0, (3 + 1)°6-2他 + 2(1-1) = 0 及 ai, a2 的值，求 Q3, «4, «5, «6- ⑵递推公式中有(- 1)" f分"为奇数和偶数讨论f判断是否为等差、等比数列f求通项公 式. 规范解答 ⑴经计算03 = 3, 04 = 4- «5 = 5, «6=|- ⑵当"为奇数时，a” + 2 = a” + 2,即数列｛"”｝的奇数项成等差数列， 一 1 =+ (兀—1)・ 2 = 2m — 1; 当"为偶数时，"” + 2=如”，即数列⑺”｝的偶数项成等比数列， f 为奇数)， 因此，数列｛©｝的通项公式为an = i ◎ ⑺为偶数). 、, * 3 5 典例2设数列｛如｝的前斤项和为必，〃€N.已知°i = l, «2 = 2»如二才，且当比22时, 4S„ + 2 + 5Sn = 8Sn+i + Sn_ i. ⑴求他的值； (2)证明:召”+1-討为等比数列； ⑶求数列｛"”｝的通项公式. 解题思路⑴当” =2时，4S4 + 5S2 = 8S3 + Si, 由此推出a4与<71, <72, a3的关系，求山. ⑵用a” = S”-S”_i("$2)及4S” + 2 + 5S” = 8S” + i + S”-i推出数列｛a”｝的递推公式f求证 为常数，其中n € N*. °n+ 1 ~。如 ⑶由(2)求出a”+i -如L构造等差数列，并求通项公式一求⑺”｝的通项公式. 规范解答（1）当 〃 =2 时,4S4 + 5S2 = 8S3 + S1,即 4（的 ++。4）+ 5（d] +。2）= 8（。1 + 士—〒e 丿口 4他—3 5 ki 7 +。3）+,整理彳寸二 4 ，又•= 2，= 4，所以。4 = 8， ⑵证明：当 E 时，有 4Sn+2 + 5Sn = 8Sn+1 + 5n_15 即 4S/2+2 + 4S〃 + S〃二4S〃+i + 4S〃+i + Sn_i, 所以 4（S„+2 - Sn+i） = 4（S„ +1 - Sn） - （Sn — Sn_i）, 即 a* 十 2 ~ ^n+ 1 —• 经检验，当〃=1时，上式成立. 1 如+ 2 — 2如+ 1 因为 i— 1 如+ 1 2如 6Z〃+ 1 — 1, 所以数列仏+1-如］是以1为首项，+为公比的等比数列. (3)由(2)知，a”+i-£a” =芸1(" € N*),等式两边同乘 2",得 2"a”+1 - 2""a” = 2(” € N*). 又2°ai = 1,所以数列｛2"」a”｝是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2"-匕严2”-1, 2ri — 1 * 即 5 = 2巾 -1 (兀 € N ). 2n-1 * 则数列｛“”｝的通项公式为an = -^rr(H € N). 热点题型2数列求和 典例1已知数列｛a”｝的前"项和S” = 2"+i-2,记b” = a”S”("€N*). ⑴求数列｛"”｝的通项公式； ⑵求数列｛%｝的前"项和乃” f^i, n=l, 解题思路⑴利用如二仁 「 . _ 求外. [Sn-Sn_i, 〃三2, ⑵先由bn = anSn,求％并整理，再依据久的结构形式选择求和方法. 规范解答(l)TS” = 2" + i-2, .•.当 ”=1 时，ai = Si = 2®-2 = 2, 当"三2 时，a” = S”-S”」= 2" + i-2" = 2", 又 ai=2 = 2— an = 2". (2)由⑴知，b” = a”S” = 2・4"-2" + i, 4(1 - 2")1-2 4(1 _4") Tn = b1+b2+- +bn = 2(4】+42 + …+ 4") - (22 + 23 + -・ +2n+1) = 2X ~— 1 — 4 7 4 =|4«+1_2« + 2+± 典例2 (2019•河北邯郸一模)已知数列｛a”｝, 3”｝的前"项和分别为S”, T„, bn-an = 2n + 1,且 S„ + Tn = 2H+1 + n2 - 2. ⑴求T„-Sn； ⑵求数列［斜的前n项和R”. 解题思路(1)7；,- S„转化为数列｛b” - a”｝的前n项和一分组求和. (2)求求荡f求久一求净一用错位相减法求和• 规范解答⑴依题意可得仞-如=3,仇-血=5,…, bn — an = 2n + 1, ■■-几一 = @i + 仇 + …+ 一(°1 + + …+ 如) =@1 一 ax) + @2 -。2)+ …+ (bn 一 為) 二 〃 + (2 + 2? + ・・・ + 2") = 2" +1 + 〃一 2. (2)2Sn = S* + Tn - (Tn 一 Sn) = n -n, n2 -n • ■ S* ~~~ 2 , * * a* = 〃 — 1. b fi 又 bn- an = 2n + 1, :.bn = T + n, • I 2* = 1 + , ‘1 2@+y+… = 2w + [? + ?+ I 1 2-F77 n n + 2 故 R” = ” + 2X —-歹=n + 2 - 热点题型3数列与不等式的综合问题 角度1数列中不等式的证明 典例1 (2019•山西大学附中模拟)已知数列⑺”｝的前"项和为S”，且2Sn = nan + 2a„-l. ⑴求数列仏“｝的通项公式; ⑵若数列［滸的前"项和为7；,求证：T”<4. 解题思路⑴先根据2S” = mi” + 2a”-l和a” = S” - S”_i("》2),推出数列｛a”｝的递推公式, 再求Cln. (2)根据的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明心<4. 规范解答 ⑴解法一：当”=］时,2Si = ai + 2ai-l, 所以dl = 1. 当 时，2Sn = nan + 2an - 1,① 2Sn_\ = (n — 1)如 _ i + 2an_ i — 1.② ①一②，得 2务=nan -(n- l)an_i + 2an一 2an_｛, 所以 nan = (n + 所以 Qnn + 1 所以 n 当〃=1时，°i = l也满足此式. n + 1 故数列｛如｝的通项公式为為二丁. 解法二：当兀=1时，2Si = ai + 2e-l,所以©二1. 当〃三2 时，2Sn = nan + 2an - 1,① 2S〃_ 1 = (n — l)an_i + 2an_ i — 1.② ①一②，得 2an = nan -(n- 1)如 _ i + 2an - 2an_ i, 所以 nan = (n + 所以誥 Hq n 3 4 n + 1 n + 1 所以a„ = aiX-=X—X —X-—= 1 X^X^X — X—— = . 当〃=1时，如=1也满足此式. n + 1 故数列｛禺｝的通项公式为如二丁. n + 1 (2)证明：由⑴得an = —2~, 4 4(n + 1)22" + ” + 2久对一切n € N*恒成立，求实数久的取值范围. 解题思路 ⑴求证an + l-an为常数，其中n € N*. (2)累加法求分离变量把已知不等式变形为久:>/(")的形式一求和)的最大值，得久的取 值范围. 规范解答⑴因为 a”+i - a” = 2(£>” +1 - b”)，b„ = 3n + 5, 所以 a”+1 — a” = 2(0”+i — bn) = 2(3" + 8 — 3n — 5) — 6, 所以｛a”｝是等差数列，首项为a1 = l,公差为6, 即 a” = 6n - 5. (2)因为 bn = 2n,所以 ％ 1 _ 覘=2(2" 1 - 2") = 2" 1. 当斤22 时，cin = (tzn — Un -1) + i — a“-2)+ *** + (。2 —。1) += 2" + 2" | + …+ 2? + 6 二 2" + 1 + 2. 当〃=1时，tii = 6,符合上式，所以an = 2n + i + 2, n + 1 fi 1 — n 2" + n 3 又歹订-尹7 =尹TWO,所以，当"=1,2时，取得最大值才，故2的取值范围为 热点题型4数列与函数的综合问题 典例 (2019-曲靖模拟)已知函数 » = 2019sin@-3(x € R)的所有正零点构成递增数 列｛a”｝. ⑴求数列｛a”｝的通项公式; (2)设bn = 2仏+ £),求数列｛%｝的前"项和Tn. 解题思路 ⑴解方程 »-0,求出函数应)的全部零点，并判断由所有正零点构造的递 增数列｛"”｝是否为等差(或等比)数列，最后求出通项公式. (2)依据第(1)问的结论，化简％,选择适当的求和方法求乃” 规范解答(l)S» = 2019sin| 71 7tx-= kji(k € Z), 所以函数几。的全部零点为X = k + +伙€ Z). 因为函数/U)的全部正零点构成等差数列｛"”｝, 所以其首项为£公差为1, 则数列｛a”｝的通项公式为a„ = n-|(n€ N*). (2)由⑴知 = 2仏+ £] = "• 2", 则 T„ = 1-2'+ 2-22 + 3-23 + - +(71 - 1)-2H-1 + n-2'1,① 所以 2T” = 1-22 + 2-23 + 3-24 + …+ (n- 1)・2" + n-2.'，+ \② ①-②，得-厶=2】+ 2? + 2? + …+ 2"-"・2" +1 = 2丫_：)_“.2" + 1 =(i _ „)-2,，+ 1 - 2,所以 1—2