Jordan标准形及其应用摘要：关于矩阵的Jordan标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵 Jordan标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan块、Jordan标准形, 同时介绍了 Jordan标准形的相关定理.还主要介绍了 Jordan标准形的三种求法：初等因子法、 计算的方法以及幕零矩阵的Jordan标准形的求法.关键词： 初等因子；Jordan块；Jordan标准形.The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common. This article introduces several basic concepts about the matrix Jorda n canonical form, including polynomial matrix, the can on ical form of polynomial matrix,, Jordan block and the Jordan canonical form. In the meantime, it introduces the related theories of the Jordan canonical form. 3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced： elementary divisor method, method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix.Keywords:Elementary divisor；Jordan block；Jordan canonical form00 ...00、1a0 ...00定义1设2是一个复数，矩阵0ia ...00(1 )<000 01几丿其中主对角上的元素都是2,紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零，叫做属于 2的一个若尔当（或若尔当块）.当2=0时，就是所谓的幕零若尔当矩阵.定理1设b是"维向量空间V的一个线性变换，都是o■的一切互不相同的本征值，那么存在V的一个基，似的o■关于这个基的矩阵有形状（Bx 0）J这里d= ・. ，而Jj\,Jj2，・・；都是属于人的若尔当块，心1,2,…,匕0 人’\ lSi 7证 设b的最小多项式是P（x） =（X-21）H...（.r-心）'* ,而P（x）在复数域上是不可约 的因式分解，这里入，心，…，人是互不相同的木征值，",...,几是正整数，又设 匕~ker(b —人)"wV I (a-A,.)r^ = O }, i = l,2,...,k,所以空间 V 有直和分解V =%㊉…㊉匕.对于每一 7,令$是o--2;在«上的限制，那么乙是子空间«的一个幕零线性变换， 而子空间匕可以分解为耳一循环子空间的直和：匕=W；1㊉…㊉“州.在每一循环子空间 IV.. =(;=1,2,...5, )里，取一个循环基，凑成岭的一个基，那么©关于这个基的矩阵有形状九 0、z %“尸这里弘(j-1,2”..,s：)是幕零若尔当块.令o-,. = o-1匕,那么-=2,. + r,.,于是对于岭加上 基来说，q的矩阵是B严A0、+(N竹1%0、—5J i20、30N“丿0Jj这里儿，人2,…，人,都是属于心的若尔当块.对于每一子空间岭，按以上方式选取一个基，凑起来成为V的基，那么b关于这个基 的矩阵就是有定理所求的形式(2).注意 在矩阵(2)里，主对角上的第7块是at = al Vt的矩阵.而子空间显然由b唯一确定，而出现在每一色里的若尔当块里由q唯一确定的，因 而是由CF唯一确定.工 0、定义2形式如 去.. 的"阶矩阵，其中每一丿都是一个若尔当块，叫做、0 J m 丿一个若尔当标准形式.例如:0 0 0 0、10 0 00 10 00 0 100 0 0 2,都是若尔当标准形式.定理2复数域上每一”阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的 次序外，与4相似的若尔当标准形式是由4唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔 当块唯一性得到证明.定理3 （1）设y为k上的"维线性空间，线性变换t： y—y的特征多项式分解为 K 上的一次式的积.(?) = 0-<71)/，1...(?=(t-axp ...(t-aryr ,al,...,ar e K , %工a;（z工））,1 < q V 这里，V是弱特征空间V（a;）的直和V=V(aJ ㊉…㊉ V(a,.),XV(a,.) = {xeVI(T- ",尸 X = 0}, dimV (a,.) = %, T 在 V(a.)上的限制 T\V(«.)的特征多项式和最小多项式为(t - ay .(2 )设矩阵( n , n , K )的特征多项式分解为K上一次式的积 .det (?-E;l — A) = (t — ...(? — ar )"r，/ja = (t — a —a,.)“，a”...,a” w K , a, a;(z j),l < vi < nt.这时， 存在正 则矩阵 P e (n,n,K)P *AP =/(aj ㊉…㊉ J (a JJ （a J =丿（勺,口）㊉…㊉ ㊉丿（a： ,q -1）㊉…㊉ J（%,q —1）至少1个 0十以上㊉ J（（z; ,1）㊉…㊉ J（（z（- ,1）0W±方阵J （aJ的结束等于％，构成J （a;）的若尔当的个数等于属于勺的特征空间多项式的维数 （1 < i < r）.若尔当块矩阵P" 4 P称为矩阵4的若尔当.注意 P~lAP = J（aq）㊉…㊉J（aJ中的J ,其/阶若尔当块的个数又4唯一确 定.例1 证明对4, B e （“，n , C ）,存在正则矩阵P ,使P 1 A P = B A和B具有相等的若尔当标准型.证 设4和B具有相等的若尔当标准型J ,则存在正则矩阵片,厶，使AP} = J ,B P[ = J ,令P{ P~'^P ,则P正则接P~' A P^B.反之，设已存在正则矩阵P,使P~l AP=B,设Q-lAQ = J是若尔当标准型，贝HPQY1 A(PQ) = J ,故4的若尔当标 准型也是丿.< 401)(13-2035、例2求矩阵c =-151,D =-3151-84的若尔当标准型，求实矩阵06丿厂2236-60J0使Q'dq成为若尔当矩阵.解 (1) \tE3-C\=t3-15t2 +75f-125 = (r-5)3, rank(C-5E3) = 1,故特征空间V(5)的维数是3-rank(C-5E3 )=2,于是机若尔当块的个数为2, C的若尔当标准型为(2)1龙3-厂 一4八—3/ + 18 = (/ —3)"/ + 2).方程(D+2E3) x=0 的通解为ci\ =例如，令U =1 ,得P1 = 1Id,dim= V (-2 ) =1 , ( D -3 E3)x =0 ,的通解是‘0、7v,所以属于特征值3的特征空间y(3)的维数是1.故属于特征值3的若U—U11,P\ =I丿I 尔当块是1个.( 、-17,方程(D -3 E3) x = q、的通解是32 4—+ —a?(7 7丿例如,令v=l,得如=例如，令 0) = 10，得 §2 二 10 , D p、= -2 p、, D q 2=3 qY, D q2 = qi+3q2 若令 Q =(px q1 §2)，则 D Q = ( D p、 D q1 D q2) = ^-2 px 3 qx q1 +3 q2 )'-2 、=Q 3 1I 3丿'-10 1、(_2 、所以0 =0 7 10，Q~1AQ =2 1U 4 6丿< 0>参考文献：[1 1张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版.[2 ]有马哲、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.。