第十一章波像差前面对像差的讨论是以几何光学为基础的，用光线经过光学系统的实际光路相对于理想 光路的偏离来度量的，统称为几何光学但光线本身是一抽象的概念，用它的密集程度来评 价像质，在很多场合下与实际情况并不符合，而且像差也不可能校正为零因此，必须考虑 像差的最佳校正方案和像差的容限问题，它与系统的使用要求和使用状况有关这些像质评 价问题常须基于光的波动本质才能解决几何光学中的光线相当于波动光学中波阵面的法线，因此，物点发出的同心光束与球面 波对应此球面波经过光学系统后，改变了曲率如果光学系统是理想的，则形成一个新的 球面波，其球心即为物点的理想像点（实际上，由于受系统有限孔径的衍射，即使是理想系 统也不可能对物点形成点像）但是，实际的光学系统的像差将使出射波面或多或少地变了 形，不再为理想的球面波这一变了形的实际波面相对于理想球面波的偏离，就是波像差波像差与像质评价问题密切相关例如要计算斯特列尔强度比（即中心点亮度）和光学 传递函数时，就必须求知波像差，而瑞利判断更是直接以波像差的大小来作评价标准的加 之波像差与几何像差之间有内在联系，利用这种联系，可在一定程度上解决像差的最佳校正 问题和容限问题。
§ 1.轴上点的波像差对于轴对称光学系统，轴上点发出的球面波经系统以后，只是由于唯一的球差，使出射 波面变形而偏离于球面由于轴上点波面是轴对称的，其波像差只需从波面与子午平面相截 的截线上，取光轴以上的一方来考察即可如图11 — 1所示，P'Z，是波面的对称轴（即系统的光轴），是系统的出射光瞳中心 以实际光线与竺轴Pz，的交点R为圆心，以A'P' =r为半径做圆（实际为球面），即为 实际波面过印,点堡与为轴成像方孔径角的直线，就是实际光线，设实际光线与实际波 面相交于舫7点，则= r oW = n' ■ MM 并且规定，实际波面在参考波面之后的波像差为负，图11 —1中的波像差为负设参考球面上点的坐标为K、Z,即M(Y,Z),实际球面上点的坐标为Y1、Z',即M(Y',Z'),有：Y1 =(P/A/ - Z*tgU‘ =(r~Z'ytgU,,y =(p/a/ -zytg0 =(R-zytgO 则：cost/7 -dZ1 +smU' ■ dY1 = 0 -R-Z Y其中：cos , sin6 = 一 ,一 Rcos 3 dZ +sin 3 dY = 0 cosU' = R — Z — LA‘,sinU选择光轴占的一点为参考点，例如高斯像点A，,那么AZAZ BP为像方孔径西次［尸时的 球差：LA' = A'A' o过宙点以P'A' =R^j半径做圆，称为参考波面。
并令元航与参考 波面的交点为M，则A' M = R ,设京肱与光轴夹角为定义n1 MM为波面像差，简 称为波像差并用W表示rdZ R — Z R — Z e― = dZR则有： dY - -- - cos3 一sin Y/R R Yo,. TT, Z1 -Z n1 ，7,八 .TJ/ Y1 ~Y n1另夕卜：cost/ = =——(Z -Z), sinU = =—MM W MM W则：W-cosU1 -(Z1 -Z), W sinU' (Y1 -Y)将此式微分得：-W-sinU1 -dU' +cosU’ • dW = n' • dZ’ -n' • dZW-cosU1 -dU1 +smU' ■dW = n, dY1 -n1 dY将这二式中的第一式乘cosU，,第二式乘sinU，,相加dW = n1 - cosU1 - dZ1 -n1 - cosU1 - dZ + n1 - sin(// - dY1 - n1 ■ sin(// ■ dY=n' - (cost/7 dZ1 +sin[/z -dY^-n1 - (cost/7 -dZ + sinU1 dY)=-n! - (cost/7 - dZ + sinU’ • dY)R _7--n1 (cos/ • dZ ——sinf// . dZ)J A1顼 dZrr _ 7 Y Y r r由cosO = ,得R dc" = —dZ ； sinO = —= = --sin[// ,则R R r R RLA'/ .R-Z-LA/ " R-Z Y “、 • uA * — * uX ) r Y rla TA1dW = -n • R dcos。
〃 • R sinO dO = n1 •sinU/ • LA1 • d0r r如果忽视角u，和的差别，则近似为dW = n - sinU，• LA1 - dO = n - sinU，• LA - dU1当光学系统的孔径不大时sinU，A"',则可以进一步简化为1 2dW = n ・ LA’ • it'du' = ・ LA’ • d(u‘ )因此，以最大孔径角〃：为积分上限值，波像差为TT7 〃 C um T A / JZ /2\W — . J LA. • d (")这就是波像与球差之间的关系对于物在无限远的系统，将/表示为〃f',则当球差费/与"/的函数关系已知时，便可由此式求出波像差值但是，在一般情况下, 乙4/与"/的函数关系难以用明确的表达式表示出来在实际工作中可以利用球差的级数展 开和球差曲线来求波像差将球差乙疽展开成以",为变量的级数表示式，当取前两项时：LA1 = a . u'~ + b • m”当对一个已知的系统，用光路计算出两种孔径角％和u2的球差LA；和LA'2以及出射孔径角 祈和"；后，带入上式可得两个方程，联立求解，便可求得和们 则得到波像差TT7 n f T . / ; / / 2 \ n f / / - J /4\ J y2 / . (X / 4 b / 6W = ■ j LA • d(ii ) = ■ j (tz • u + b ■ it ) . d(" ) = n - (— • um + — - um )由于积分值等于函数曲线与自变量坐标轴所围成的面积，因此由波像差的表达式可见, 如果根据光线光路计算的数据，以“"为纵坐标轴来画球差曲线，如图11-2 (a)所示，则 曲线与纵坐标期所围面积的一半(/ =1)就是波像差。
由此，可以得到波像差曲线，如图 11-2 (b)所示图11-2球差曲线和波像差曲线§2.轴外点的波像差轴外物点发出的光束，通过光学系统以后，由于失去了轴对称性，通常用光线与某一参 考平面(如高斯像平面)的交点距某一参考点(如理想像点)之间的偏离量的两个分量必， 和以/来描述由轴外物点发出的某一光线的像差，即像差的两个垂轴分量：子午分量和弧矢 分量相应地，轴外点的波像差也可以表示成与垂轴像差这两个分量之间的关系如图11-3所示，分别以出射光瞳中心P和高斯像面中心为原点作相互平行的两个 右手直角坐标系尸言”厂和XX Y Z，设Sr为轴外点B发出的光束通过光学系统的实 际波面，S为理想像点3、为中心的理想波面，它们在出射光瞳中心处与实际波面相切， 理想波面作为参考球面，其半径为A设轴外B点发出的某一条光线与波面Sr和S分别交 于点Qr(&r,ti'r，''r)和点与理想像平面交于点3/(灰/顶+成/,0)光 线的方向余弦设为cosZ、cosR、cos,显然乘以折射率n',即为实际波面上点QR 的波像差W线段Q,Q]在三个坐标轴上的投影分别为：Mr-g =Q'rQ' • cos a', Wr-W =Q!rQ' CCS 显,，，一厂=Q；必・cos”按W的符号法则，图中W为负，即W = n, Q'Q'^-n1 Q^Q1代入上式，得到：〃'•(？ 一跳)=W •cos«/, / •(〃/-〃；)= W・cos”，, / .=W・cosp 微分以上公式组，得到：n' - (dg - dgk) = cos a' - dW - W • sin az • da1n1 - (dr]' - dr/'R) = cos阡 dW -W sin/31 ■ d/3'厂一d«) = cos/ ・dW —W・sin，•奶以上三式分别乘以cosa'、cos”,、cos/,相加，得到n1 • (cos a1 - dg' + cos /31 - dr]' + cos / , d。
')~n' -(cosfZ7 -d^R + cosR -dri’R +cos/ -d^'R)=t/W (cos2 a1 +cos2 伊 +cos2 / ) + jw -tZ(cos2 a1 +cos2 (3 +cos2 /)由于cos2 a' + cos2 p1 + cos2 / = 1,故得dW = n' ■(cosa/ -d^1 +cos/3' dr/1 + cos /一 n' - (cosa' - d&’R + cos fi' - drj'R + cos / ■ d'")实际波面的方程为，圈M新)= 0,微分得到井.照+井如+井.娩=0这实际上为波面上点Q*成刀R,，R）处的切平面方程通过点的光线，即波面上点Q'r的 法线，为：和 _ 3FZ v 3FZ 二 3F rWr 机 V/的方向余弦为:叫3嚏n”i.c"岂=| 叫 w此法线（亦即实际光线）cos a =或写为：dFf I- /| /宓=|N |-cos« ,因此得到：cos 以’ • dg’R + cos• drik + cos / -d^'R = 0故尔得到：dW = n' - （cos a' - dg + cos ft1 drj1 + cos p • ）由图11-3所示，Q,^/的方向余弦为：，…R。
/ ni y' + —t]'COS« =—— ，COS” = — , CG3；- ..QB1 QB1 QB1其中Q/度是未知量，它与参考球面的曲率半径R很相近，令Q B' =R',贝DdW =二・[（以/-S）d8+（y+#-〃）d〃/+（Ro-厂）《厂]R=与.[—宙・dg +（却―,）•、却 ・dg + 成'R对于参考球面，写出其球面方程：（8）2+（〃，一尸）2+（厂一Ro）2=O取微分，得到：S' , "S' +（却-y‘）• d"‘ +（，' -R , =o因此，得到：dW = j （〃/ dg/ + 庞, d?/）即3W n1 , aw n1 , 7 = -7 - OA , = —- . O1R1 万 R1若将8和〃/除以出射光瞳最大孔径的一半兄，即矿=;,T =1h„, 九dW=j.（h：„ .汶W + h：,, .汶.（!』）=空^（灰/山矿+济・叨/）R h„, h，“ Rh' 由于":"=土，贝' R'dW = n' - •（虹 d矿+矿 drj'）或dW / / 州/ 3W / / 行/守， —7 = » -um-0Y 3^ 3 77可见，子午像差分量和弧矢像差分量可以用其波像差表示。
积分上式，得w = *矿+成/ E"/）这就是轴外点垂轴像差（灰/,庞/）与波像差之间关系的表达式§ 3.参考点移动产生的波像差参考点位置变化时，对几何像差而言，相当于计算像差的坐标原点的变化对于波像差 而言，其参考点位置的变化就相当于参考球面的半径发生变化，这将引起波像差的变化一轴向波像差的变化若参考点沿波面对称轴移动△〃，其所产生的波像差增量为AW则可以用参考点移动 量△〃来代替球差乙4,,并把△〃看成常量，其所引起的波像差的变化量为：A= — ■ I A/ • du = — ■。