2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备
考点11 指数与指数函数
1．根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
4．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
5.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
6．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
1、化简4a·b－÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
2、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
3、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为 ．
4、函数的值域为（ ）
A． B． C．（0，] D．（0，2]
5、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )
A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18
C．a＋a－＝± D．a＋＝2
考向一 指数幂的运算
例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0
(2)(a>0，b>0)
(3) －π0；
(4)
变式、已知＝3，求的值．
方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考向二 指数函数的性质与应用
例1、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c．
（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或．
（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
变式1、已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
变式2、若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝ ．
变式3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式的解集为_______.
方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．
(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0
1两种情形进行分类讨论，防止错解
考向三 指数函数的图像与性质
例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是
变式2、函数在[–2，2]的图像大致为
A． B．
C． D．
变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．
考向四 指数函数的综合运用
例3、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数，若，则实数 _____．
变式2、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；
(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．
方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若00时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
