2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备
考点12 对数与对数函数
1、对数的概念
如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2、对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④Mn＝logaM．
(2)对数的性质
①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logaN＝ (a，c均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
3、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0
1时，恒有y>0；
当01时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
注
意
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和01时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
考向一 对数的运算
例1、（1）化简：＝________．
（2）化简：＝________．
（3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B. C. D. ．
变式1、 化简下列各式：
(1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)；
（4）2log32－log3＋log38－3log55；
方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考向二 对数函数的性质及其应用
例2、（1）函数y＝的定义域是（ ）
A. B. C. D. ．
（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
变式1、设函数，则 （ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
变式2、（1）已知是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例3、（1）已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1；
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1．
（2）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. ．
（3）若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
变式1、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向四 对数函数的综合及应用
例4、（2020全国Ⅱ文12理11）若，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1、已知函数，则
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
变式2、关于函数f (x)＝ln ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)为奇函数
C．f (x)在定义域上是增函数
D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f
方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、（2020全国Ⅰ文8）设，则 （ ）
A． B． C． D．
2、（2020全国Ⅲ文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logisic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（） （ ）
A． B． C． D．
3、（2020全国Ⅲ文10）设，则 （ ）
A． B． C． D．
4、已知函数，若，则=________．
5、已知函数，，则___．
6、函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
7、若，则 （ ）
A． B． C． D．
