湖北省襄阳市老河口市2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题（解析版）

湖北省襄阳市老河口市2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试 数学 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.下列各题，每小题只有一个选项符合题意． 1. 已知全集，，是的非空子集，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全集、补集和子集的定义，作出Venn图，即可得到答案. 【详解】 全集，，是的非空子集，且， 作出Venn图，如图所示，所以， 即可得到，正确； B. ，错误； C. ，错误； D. ，错误. 故选：． 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出，得出集合之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2. 若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设且，根据题设复数相等及复数的乘法运算求a、b，进而写出，即可求模长. 【详解】令且，则， 所以，故， 所以. 故选：C 3. 某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ） A. 80种 B. 120种 C. 130种 D. 140种 【答案】D 【解析】 【分析】分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解. 【详解】若夫妻中只选一人，则有种不同的方案； 若夫妻二人全选，则有中不同方案， 故总计有140种不同方案， 故选：D 4. 已知，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察角与角之间的关系，利用诱导公式可得. 【详解】 . 故选：B 5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则，则由条件可得，由勾股定理可得，从而得出的最小值，得出答案. 【详解】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即 又，所以，解得 由，则 当，即时，最小值 则圆锥的侧面积为 故选：C 6. 计算（ ） A. 1 B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值 【详解】 故选：B 7. 已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、、即可得出结果. 【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，， 若，则，，，不满足题意； 若，则，，， ， 因为，，所以若，则，，， 故数列的公比的取值范围为， 故选：B. 8. 若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. （0，2） D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则由已知可得在上单调递增，而，从而将原不等式转化为，得，再利用为奇函数讨论的情况，进而可求得解集 【详解】令，则， 因为，当时，， 所以当时，， 所以在上单调递增， 因为为定义在R上的奇函数， 所以，所以， 所以不等式转化为， 因为在上单调递增，所以， 所以当时，， 因为为定义在R上的奇函数， 所以当时，不满足， 综上，不等式的解集为 故选：D 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，n的最大值为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】等差数列中，，，， ，公差，数列是递减数列，A错误 ， ，B正确. ，数列是递减数列， 当时，最大,C正确. , ,. 当时，n的最大值为14,D正确. 故选:BCD. 10. 已知函数的零点为，则（ ） A. 的值为5 B. 的值为4 C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。 【详解】∵， ∴， ∴． 令为增函数， ∴由， 得， ∴． ∴． 由，， 又由，， 有， 则. 故选：AD 11. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误. 【详解】由题设，，即，A正确； ，即，B错误，D正确； 由，则，C正确； 故选：ACD 12. 正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四边形的面积的最大值为 C. 若四边形的面积为，则 D. 若，则四棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出四边形的面积，依据相应条件分别对选项A，B，C，D进行计算，进而可判断A，B，C，D的正确性． 【详解】解：因为与不垂直，所以与平面不垂直，故选项A不正确； 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，0，，，2，． 因为，所以，，． 因为平面，所以， 则，，，，，． 若平面，则，即，0，，，，，； 若平面，则，即，，，，2，，． 因为，所以四边形的面积， 当时，四边形的面积最大，且最大值为， 点到直线的距离为，即点到平面的距离为， 所以四棱锥的体积，故选项B正确，选项D正确． 若四边形的面积为，则或，解得或，故选项C不正确， 故选：BD． 三、填空题：共4题，总计16分． 13. 已知函数的单调递增区间为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域得或，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】解：由题知，解得或， 所以函数的定义域为或， 因为函数在时单调递增，在时单调递减， 函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 故 故答案为： 14. 一个盒子内装有形状大小完全相同的个小球，其中个红球个白球.如果不放回依次抽取个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件第一次抽到红球，记事件第二次抽到红球， 则，，因此，所求概率为. 故答案为：. 15. 函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，利用导函数研究函数单调性和极值，进而求出最小值. 【详解】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，； 当时，，此时，此时在单调递减，且； 综上：函数的最小值为1. 故答案为：1 16. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________. 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：共6题，总计74分． 17. 已知是数列的前n项和，，且． （1）证明：为常数列； （2）若，求数列前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，即，利用与的关系化简可得化简即可得出结果. （2）由（1）可得，化简可知，通过裂项求和可得出结果 【小问1详解】 由已知得，即， 时，由，，两式相减得， 则，又 于是为常数列． 【小问2详解】 由（1）得． 则， 故． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解. (2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 即，由余弦定理得 ，可得． 【小问2详解】 根据正弦定理得 ， 又，则 故，则的取值范围是． 19. 某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示： 15 15 （1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； （2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程； （3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元 参考数据： 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用． 【解析】 【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型； （2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程； （3）令可解出的范围，进而确定结果. 【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的， 所以选择回归类型更好． （1）对两边取对数，得：，即， 由表中数据得：，，， 年广告费用和年利润额回归方程为． （3）由（2）知：， 令得：，解得：， ，（十万元），十万元万元 下一年应至少投入万元广告费用． 20. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点.. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据等腰三角形三线合一，可证明，，再根据线面垂直判定定理证明平面.，由此可证明平面平面； (2) 根据题意，点在平面内的射影在射线上，再根据锥体体积公式可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：∵，D为AC中点，∴. 又为等边三角形，，∴. ∵，BD，平面PDB，∴平面PDB. ∵平面PAC，∴平面平面. 【小问2详解】 ∵为正三角形，，∴ 的面积为，设三棱锥的底面上的高为， ，作于O，由(1)平面,所以，又，所以， 所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，则 ，，， ∴，， 设是平面PAB的一个法向量 ,取 设是平面PBC的一个法向量 取 ，设二面角的平面角为， 则. 21. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”． （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x