浙江省杭州市余杭区九年级上学期期末数学试卷解析版

九年九年级级上学上学期期期末数学期末数学试试卷卷 一、一、单选题单选题 1．二次函数图象的顶点坐标是（） A．B．C．D． 2．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有 1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为 5 的概率是（） A.B．C．D． 3．若=，则的值等于（） A．B． 4．如图，在矩形中， 外的是（） C．D． ，若以点为圆心，8 为半径作，则下列各点在 A．点B．点C．点 5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝3，AC＝4，则 sinB 的值为 （ D．点 ） A．B．C． 6．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为 D． ，其图象如图所 示，若小球发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（） A．第 3 秒B．第 3.5 秒C．第 4 秒D．第 6 秒 7．如图，是直径，若，则的度数是（） A．40°B．35°C．30°D．25° 时，y 随 x 的增大而减小，则 b 的取值范围是（ C．D． 8．已知二次函数，当） A．B． 9．如图，，是的两条弦，它们相交于点 P，连接、，已知， ，那么的长为（） A．6B．7C．8 //，记 的关系式正确的是（ D．9 10．如图，在中，//，，， ，则下列关于，，） A．B． C．D． 二、填空二、填空题题 11．计算：． 12．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB．若 AB＝2，则 AP＝ ． 13．某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共 2000 件产品中随机抽取 100 件进行检测，检 测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是件. 14.已知扇形的圆心角为 120°，面积为 12π，则扇形的半径是． 15.将二次函数的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，最终所得图象的函数表达式  为. 16．如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点 D. （1）当时，则的长为； （2）当 三、解答三、解答题题 ，时，则的长为. 17．一只不透明的箱子里共有 5 个球，其中 3 个白球，2 个红球，它们除颜色外均相同. （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状 图的方式求两次摸出的球都是白球的概率. 18．已知二次函数的图象经过点 （1）求二次函数的表达式； . （2）求二次函数的图象与 y 轴的交点坐标. 19．如图，内接于，且，P 是上一点，且. （1）求的度数； （2）若的半径为 6，求的长（结果保留）. 20．如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知 B，C，D 三点在同一水平线 上，，，，米. （1）求点 C 到的距离； （2）求线段的长度. 21．如图，在，中，D，E 分别是 交于点 G，交 上的点，，，， 的角平分线于点 F. （1）求证：； （2）求的值. 22．已知函数（b 为常数）. 1若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由； 2设该函数图象的顶点坐标为，当 b 的值变化时，求 m 与 n 的关系式； 3若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为 16，求 b 的值. 23．如图，点 A 在 y 轴正半轴上，，点 B 是第一象限内的一点，以为直径的圆交 x 轴于 D， C 两点，D，C 两点的横坐标是方程的两个根，，连接. （1）如图（1），连接 ①求的正切值； ②求点 B 的坐标. . （2）如图（2），若点 E 是的中点，作于点 F，连接，，，求证： .  答案解析部答案解析部分分 1． 【答案】A 【知识点】二次函数 y=a（x-h）^2+k 的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为：A. 【分析】根据抛物线的的顶点坐标为（h，k）即可直接得出答案. 2 ． 【答案】A 【知识点】概率公式 【解析】【解答】解：抛掷六个面上分别刻有的 1，2，3，4，5，6 的骰子有 6 种结果，其中朝上一面的数 字为 5 的只有 1 种， 朝上一面的数字为 5 的概率为， 故答案为：A. 【分析】由题意可得：抛掷一枚骰子共有 6 种结果，而朝上一面的数字为 5 的只有 1 种，然后利用概率公式 计算即可. 3 ． 【答案】C 【知识点】代数式求值 【解析】【解答】解：设 b=3x，则 a=2x， 所以==． 故答案为：C． 【分析】由 b 和 a 的比例，可以设 b=3x，则 a=2x，根据代数式，代入 a 和 b，即可得到答案。 4． 【答案】C 【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：如图，连接 AC， ∵AB=6cm，AD=8cm， ∴AC=10cm， ∵AB=6＜8，AD=8=8，AC=10＞8， ∴点 B 在⊙A 内，点 D 在⊙A 上，点 C 在⊙A 外. 故答案为：C. 【分析】连接 AC，由勾股定理可得 AC=10cm，然后根据点与圆的位置关系进行判断. 5． 【答案】A 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图，在 Rt△ABC 中， ∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4 ， ∴AB＝， ∴sinB＝＝ 故答案为：A． 【分析】根据三角函数的定义解决问题即可 6． 【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：由题意可知：小球发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等， 即 4a+2b＝36a+6b， 解得 b＝﹣8a， 函数 h＝at2+bt 的对称轴 t＝﹣＝4，  故在 t＝4s 时，小球的高度最高， 故答案为：C. 【分析】根据“小球发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等”可得 4a+2b＝36a+6b，化简可得 b＝-8a，结合对称轴 方程求出对称轴，进而可得高度最高时对应的时间. 7． 【答案】D 【知识点】角的运算；圆周角定理 【解析】【解答】解：连接 AD， ∵AB 是⊙O 直径，∠AOC＝130°， ∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°， ∴∠BDC＝25°. 故答案为：D. 【分析】连接 AD，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠CDA=130°，∠BDA=90°，结合∠AOC 的度数可得∠CDA 的 度数，然后根据∠BDC=∠BDA-∠CDA 进行计算. 8． 【答案】D 【知识点】二次函数 y=ax^2+bx+c 的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴对称轴为直线 x＝b，开口向下， ∴在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小， ∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴1 不在对称轴左侧， ∴b≤ 1. 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线 x＝b，开口向下，判断出函数的增减性，结合题意就可得 到 b 的范围. 9． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接 AC， 由圆周角定理知，∠C＝∠B， ∵AD＝BD ∴∠B＝∠DAB， ∴∠DAP＝∠C ∴△DAP∽△DCA， ∴AD：CD＝DP：AD， 得 AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC）， 把 AD＝4，PC＝6 代入得，， 解得，CD＝8 或 CD＝-2（舍去）. 故答案为：C. 【分析】连接 AC，由圆周角定理知：∠C＝∠B，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，推出∠DAP＝∠C， 证明△DAP∽△DCA，然后根据相似三角形的性质求解即可. 10． 【答案】B 【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的面积 【解析】【解答】解：设 AD＝a，BD＝b，DB 与 EF 间的距离为 h， ∵EF∥AB，DE∥BC ， ∴四边形 DBFE 是平行四边形， ∴BD＝EF＝b， ∵DE∥BC，EF∥AB ， ∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴＝＝（）2＝， ∵S1＝ah， ∴S2＝，  ∴S1S2＝， ∴bh＝2， ∵S3＝bh， ∴S3＝2. 故答案为：B. 【分析】设 AD＝a，BD＝b，DB 与 EF 间的距离为 h，易得四边形 DBFE 是平行四边形，则 BD＝EF＝b，证 明△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得 S2，进而可得 S1S2，bh，然后根据 S3＝bh 进行解答. 11． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】 故答案为：． 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 12． 【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这 一线段的长=≈0.618.∵AB=2，AP﹥BP,∴AP:AB=，AP=-1. 【分析】根据黄金分割点的性质得出：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等 于较大的边比上这一线段的长，根据性质即可算出答案。 13．【答案】20 【知识点】用样本估计总体 【解析】【解答】解：∵随机抽取 100 件进行检测，检测出次品 1 件， ∴次品所占的百分比是：， ∴这一批产品中的次品件数是：2000×＝20（件） ， 故答案为：20. 【分析】首先求出样本中次品所占的比例，然后乘以 2000 即可得到次品的件数. 14． 【答案】6 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】根据扇形的面积公式，得 R===6， 故答案为 6． 【分析】根据扇形的面积公式 S=，得 R=． 1 5．【答案】y＝（x﹣2）2﹣2 【知识点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数 表达式是 y＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2. 【分析】二次函数 y=ax2+bx+c 向左平移 m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数 y=ax2+bx+c 向右平移 m（m>0）个单位长度，得的新二次函数的解析式为 y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数 y=ax2+bx+c 向上平移 m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c+m；二次函数 y=ax2+bx+c 向下平移 m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c-m. 16． 【答案】（1）5 （2）4 【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题） ；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）连接 CA、CD，如图 1 所示： 根据折叠的性质，弧 CD 所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD， ∴，  ∴AC＝CD， ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AD＝BD＝5， ∴AB＝AD+BD＝10，CD＝AB＝BD＝5， ∴AC＝CD＝5， ∴BC＝ 故答案为：5； ＝＝5， （2）连接 CA、CD，如图 2 所示： 根据折叠的性质，弧 CD 所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD， ∴， ∴AC＝CD， 过点 C 作 CE⊥AB 于 E ， 则 AE＝ED＝AD＝ ∴BE＝BD+DE＝6+2＝8， ×4＝2， ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ACB＝∠AEC＝90°， ∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE， ∴＝， 即 CE2＝AE•BE＝2×8＝16， 在 Rt△BCE 中，BC＝ 故答案为：4. ＝＝4. 【分析】 （1）连接 CA、CD，根据折叠的性质以及等弧所对的圆周角相等可得∠CBA＝∠CBD，则 AC＝CD， 根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，易得 AB＝10，CD＝BD＝5，AC＝CD＝5，然后利用勾股定理求解即可； （2）连接 CA、CD，同理可得 AC＝CD，过点 C 作 CE⊥AB 于 E，则 AE＝ED＝AD＝2，BE＝8，根据 同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，证明△ACE∽△CBE，根据相似三角形的性质求出 CE2，然后根据勾股定理 求解即可. 1 7．【答案】（1）解：∵不透明的箱子里共有 5 个球，其中 3 个白球，2 个红球， ∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是； （2）解：根据题意画出树状图如下： 一共有 20 种情况，两次摸出都是白球的情况有 6 种情况， 所以两次摸出的球都是白球的概率为＝. 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【分析】 （1）利用白球的个数除以球的总数即可求出摸出一个球是白球的概率； （2）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及两次摸出都是白球的情况数，然后利用概率 公式进行计算. 1 8．【答案】（1）解：∵二次函数 y＝a（x+1）2﹣2 的图象经过点（﹣5，6）， ∴a（﹣5+1）2﹣2＝6. 解得：a＝. ∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即 y＝ （2）解：令 x＝0，则 y＝×（0+1）2﹣2＝﹣， ∴二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣）. x 2+ x﹣； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】 （1）将（-5，6）代入求解可得 a 的值，进而可得二次函数的表达式；  （2）令 x=0，求出 y 的值，进而可得函数图象与 y 轴的交点坐标. 1 9．【答案】（1）解：∵， ∴∠ABC=∠ACB= ∵四边形 ABCP 为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠APC=180°， ∴∠APC=180°-∠ABC=180°-75°=105° ， （2）解：连结 OA，OC， ∵∠ABC=75° ， ∴∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°， ∴=. 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算 【解析】【分析】 （1）由三角形内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=75°，由圆内接四边形的性质 得∠ABC+∠APC=180°，据此求解； （2）连接 OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=150°，然后根据弧长公式进行计算. 20．【答案】（1）解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E ， ∴∠CEB＝90°， ∵∠B＝30°，BC＝30 米， ∴CE＝BC＝15（米） ∴点 C 到 AB 的距离是 15 米； （2）解：∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝60°，∠B＝30°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CD＝CE＝15 米， 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，CD＝15 米， ∴CD＝AC， ∴AC＝CD＝2×15＝30（米） ， 由勾股定理得：AD＝＝ 答：线段 AD 的长度是 15米. 【知识点】角平分线的性质；解直角三角形的应用 ＝15（米） ， 【解析】【分析】 （1）过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，然后根据含 30°角的直角三角形的性质进行求解； （2）易得∠CAD＝30°，∠BAC＝30°，则∠CAD＝∠BAC，结合角平分线的性质可得 CD＝CE＝15 米，根据含 30°角的直角三角形的性质可得 CD＝AC，结合 CD 的值可得 AC，然后利用勾股定理进行计算即可. 2 1．【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：∵△ADE∽△ACB， ∴∠ADE＝∠C， ∵AF 平分∠BAC， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△ADG∽△ACF， ∴， ∵AD＝2，AC＝3， ∴， 设， ∴＝2. ，则 【知识点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义  【解析】【分析】 （1）由已知条件可知∠AED=∠B，由图形可知∠BAC=∠DAE，然后利用相似三角形的判定定理 进行证明； （2）根据相似三角形的性质可得∠ADE＝∠C，由角平分线的概念可得∠DAG＝∠CAF，证明△ADG∽△ACF， 然后利用相似三角形的性质进行求解. 22． 【答案】（1）解：经过， 把点（﹣2，4）代入 y＝x2+bx+3b 中得： 4﹣2b+3b＝4， 解得 b＝0， ∴此函数表达式为：y＝x2， 当 x＝2 时，y＝4， ∴图象经过点（2，4） ； （2）解：∵抛物线函数 y＝x2+bx+3b（b 为常数）的顶点坐标是 （m，n）， ∴﹣＝m，＝n， ∴b＝﹣2m， 把 b＝﹣2m 代入＝n 得 n＝＝﹣m2﹣6m. 即 n 关于 m 的函数解析式为 n＝﹣m2﹣6m. （3）解：把 x＝0 代入 y＝x2+bx+3b 得 y＝3b， ∵抛物线不经过第三象限， ∴3b≥0，即 b≥0 ， ∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b， ∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b） ， ∵﹣≤0， ∴当﹣+3b≥0 时，抛物线不经过第三象限， 解得 b≤12， ∴0≤b≤12， ﹣6≤﹣ ≤0， ∴当﹣6≤x≤1 时，函数最小值为 y＝ ﹣ +3b， 把 x＝﹣6 代入 y＝x2+bx+3b 得 y＝36﹣3b， 把 x＝1 代入 y＝x2+bx+3b 得 y＝1+4b， 当 36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16 时， 解得 b＝20（不符合题意，舍去）或 b＝4. 当 1+4b﹣（﹣+3b）＝16 时， 解得 b＝6 或 b＝﹣10（不符合题意，舍去）. 综上所述，b＝4 或 6. 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数 y=ax^2+bx+c 的图象；二次函数 y=ax^2+bx+c 的性质 【解析】【分析】 （1）把点（-2，4）代入 y＝x2+bx+3b 中求解可得 b 的值，据此可得函数解析式，然后令 x=2，求出 y 的值，据此判断； （2）根据抛物线的顶点坐标为（m，n）可得-＝m，＝n，则 b＝-2m，把 b＝-2m 代入 ＝n 中化简可得 n 关于 m 的解析式； （3）把 x＝0 代入 y＝x2+bx+3b 得 y＝3b，根据抛物线不经过第三象限可得 b≥0，由抛物线的解析式可得顶点 坐标为（-，-+3b） ，则-+3b≥0，求出 b 的范围，判断出函数的最值，然后根据最大值与最小值的 差为 16 就可求出 b 的值. 2 3．【答案】（1）解：①以 AB 为直径的圆的圆心为 P， 过点 P 作 PH⊥DC 于 H，作 AF⊥PH 于 F，连接 PD、AD ，  则 DH＝HC＝DC，四边形 AOHF 为矩形， ∴AF＝OH，FH＝OA＝1， 解方程 x2﹣4x+3＝0，得 x1＝1，x2＝3， ∵OC＞OD， ∴OD＝1，OC＝3， ∴DC＝2， ∴DH＝1， ∴AF＝OH＝2， 设圆的半径为 r，则 PH2＝， ∴PF＝PH﹣FH， 在 Rt△APF 中，AP2＝AF2+PF2，即 r2＝22+（PH﹣1）2， 解得：r＝，PH＝2，PF＝PH﹣FH＝1， ∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝1， ∴AD＝， ∵AB 为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝=＝3， ∴tan∠ABD＝＝＝； ②过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，交圆于点 G，连接 AG ， ∴∠BEO＝90°， ∵AB 为直径， ∴∠AGB＝90°， ∵∠AOE＝90°， ∴四边形 AOEG 是矩形， ∴OE＝AG，OA＝EG＝1， ∵AF＝2， ∵PH⊥DC， ∴PH⊥AG， ∴AF＝FG＝2， ∴AG＝OE＝4，BG＝2PF＝2， ∴BE＝3， ∴点 B 的坐标为（4，3）； （2）证明：过点 E 作 EH⊥x 轴于 H ， ∵点 E 是 ∴＝ ∴ED＝EB， 的中点， ， ∵四边形 EDCB 为圆 P 的内接四边形， ∴∠EDH＝∠EBF， 在△EHD 和△EFB 中， ， ∴△EHD≌△EFB（AAS）， ∴EH＝EF，DH＝BF， 在 Rt△EHC 和 Rt△EFC 中，  ， ∴Rt△EHC≌Rt△EFC（HL）， ∴CH＝CF， ∴2CF＝CH+CF＝CD+DH+BC﹣BF＝BC+CD. 【知识点】圆的综合题；锐角三角函数的定义 【解析】【分析】 （1）以 AB 为直径的圆的圆心为 P，过点 P 作 PH⊥DC 于 H，作 AF⊥PH 于 F，连接 PD、 AD，则 DH＝HC＝DC，四边形 AOHF 为矩形，根据矩形的性质可得 AF＝OH，FH＝OA＝1，利用因式分 解法求出方程的解，可得 OD＝1，OC＝3，则 DC＝2，DH＝1，AF＝OH＝2，设圆的半径为 r，则 PH2＝r2- 1 ，PF＝PH-FH，然后在 Rt△APF 中，利用勾股定理求出 r，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由勾股定理求 出 BD，然后根据三角函数的概念进行计算即可； ②过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，交圆于点 G，连接 AG，则四边形 AOEG 是矩形，OE＝AG，OA＝EG＝1， 易 得 AF＝FG＝2，则 AG＝OE＝4，BG＝2PF＝2，求出 BE 的值，进而可得点 B 的坐标； （2）过点 E 作 EH⊥x 轴于 H，则 ED＝EB，根据圆内接四边形的性质可得∠EDH＝∠EBF，证明 △EHD≌△EFB，得到 EH＝EF，DH＝BF，进而证明 Rt△EHC≌Rt△EFC，得到 CH＝CF，据此解答.