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2022-2023学年广西南宁市横州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 抛物线y=12(x-1)2+2的顶点坐标为( )
A. (-1,2) B. (-1,-2) C. (1,2) D. (1,-2)
2. 下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A. x2-7x-1=0 B. 4x2-144=0
C. x2+2x=0 D. ax2+3x+b=0
3. 在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形的是( )
A. 由 B. M C. H D. 人
4. 有二次函数y=xm-2-2x+1，则m的值是( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 4或2
5. 用配方法解一元二次方程x2-6x+5=0时，此方程可变形为( )
A. (x+3)2=4 B. (x-3)2=4 C. (x+3)2=9 D. (x-3)2=0
6. 已知一元二次方程3x2+7x-9=0的两根分别为x1，x2，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1x2为( )
A. 3 B. 7 C. 9 D. -3
7. 如果将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为( )
A. y=(x+2)2-1 B. y=(x-2)2-1
C. y=(x+2)2+1 D. y=(x-2)2+1
8. 我市某公司在2020年营业额为100万元，到2022年营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为x，根据题意可列方程为( )
A. 100(1-x)2=121 B. 100(x-1)2=121
C. 100(1+x)2=121 D. 121(1+x)2=100
9. 如图，将△ABO绕点O旋转得到△CDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，则下列说法：①点B的对应点是点D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋转中心是点O；⑥旋转角为40°.其中正确的是( )
A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ③④⑤⑥ D. ①②③④⑤⑥
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y<0时自变量x的取值范围是( )
A. x<-3
B. x>1
C. x<-3或x>1
D. -3BP)，若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是( )
A. (20-x)2=20x B. x2=20(20-x)
C. x(20-x)=202 D. 以上都不对
二、填空题（本大题共6小题，共12分）
13. 一元二次方程3x2+x+5=0的常数项是______．
14. 已知点A(a,1)与点B(-3,-1)关于原点对称，则a=______．
15. 方程2x2-4x+2=0的根的情况是______．
16. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，其中一种方法通过构造图形解一元二次方程，这体现的数学思想是______．
17. 要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与1m处达到最高，高度4m，水柱落地处离池中心3m，应安装水管的长度是______．
18. 如果平移抛物线C1得到新的抛物线C2，抛物线C1和C2与y轴的交点为同一个点，则称抛物线C1和C2为“同族抛物线”.如图已知抛物线C1：y1=-x2+2x+3与C2：y2=ax2+bx+c是“同族抛物线”，与y轴都交于点C，抛物线C1与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，抛物线C2经过点D(3,6).若点P是抛物线C2对称轴上一动点，连接CP、AP、AC，则△ACP周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19. 计算：(-1)2022+9-(2-3)÷12．
20. 解方程：x2-x-1=0．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-1,5)，B(-4,3)，C(-2,2)．
(1)请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
22. 已知一人患了流感，经过两轮传染后一共有64人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染几个人？
23. 某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为多少件？(用含x的式子表示)
(2)当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？
24. 综合与实践．
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“探究图形旋转中的奥妙”为主题开展活动．如图1，在等边三角形ABC中，点O为△ABC角平分线的交点，点D是直线BC上一点，连接OD并延长与直线AB交于点F，将射线OF以点O为旋转中心，逆时针旋转120°，与直线BC交于点G．
【操作发现】如图1，智慧小组发现当点D在线段BC上时，连接OB，易证△BOF≌△COG，从而得出BF=CG；如图2，缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当点D在点B的左侧时，将射线OD以点O为旋转中心，逆时针旋转120°，与直线BC交点G，与AC的延长线交于点E.连接GF，可得△OFG是等腰三角形．
【问题解决】
(1)写出图1或图2中的任意一个旋转角______；
(2)如图2请判断BD和CE的数量关系，并说明理由；
(3)结合操作发现的描述，证明：△OFG是等腰三角形．
25. 阅读与思考：下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：用函数观点认识一元二次方程根的情况，我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．
与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标(-b2a,4ac-b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac分别分a>0和a<0两种情况进行分析：
(1)a>0时，抛物线开口向上．
①当Δ=b2-4ac>0时，有4ac-b2<0．
∵a>0，
∴顶点纵坐标4ac-b24a<0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
②当Δ=b2-4ac=0时，有4ac-b2=0．
∵a>0，
∴顶点纵坐标4ac-b24a=0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当Δ=b2-4ac<0时，…
(2)a<0时，抛物线开口向下…．
任务：
(1)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(2)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例______．
26. 在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y=mx2+4mx-12m(m>0)的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N(点M在点N的左侧)，与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为(0,-1)．
(1)求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；
(2)若抛物线C2的顶点为D，当m=34时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，点P(t,-54)是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是否存在一点Q，使得S△APM=32S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y=12(x-1)2+2的顶点坐标为(1,2)．
故选：C．
利用二次函数的顶点式直接得出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，利用配方法把二次函数化为顶点式是求得对称轴、顶点坐标的常用方法．
2.【答案】D
【解析】解：A.方程x2-7x-1=0是一元二次方程，选项A不符合题意；
B.方程4x2-144=0是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程x2+2x=0是一元二次方程，选项C不符合题意；
D.当a=0时，方程ax2+3x+b=0不是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
利用一元二次方程的定义，可找出方程ax2+3x+b=0不一定是一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的汉字或字母都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的字母能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形)逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】A
【解析】解：∵函数y=xm-2-2x+1是二次函数，
∴m-2=2，
解得m=4．
故选：A．
根据二次函数的定义求出m的值即可．
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x2-6x+5=0，
x2-6x=-5，
则x2-6x+9=-5+9，即：(x-3)2=4，
故选：C．
把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方．
本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解方程是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵方程3x2+7x-9=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1x2=-93=-3，
故选：D．
直接根据根与系数的关系可得出x1x2=3．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca．
7.【答案】A
【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(-2,-1)．
可设新抛物线的解析式为：y=-3(x-h)2+k，代入得：y=(x+2)2-1，化成一般形式得：y=-3x2-6x-5．
故选：A．
根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可．
主要考查的
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