数字信号处理（第2版）教学课件第3章 离散傅里叶变换

第第 3 3 章章 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）学习重点熟练掌握周期序列的离散傅里叶级数的公式。熟练掌握离散傅里叶变换的定义及性质。学会用离散傅里叶变换计算线性卷积和。了解频域抽样理论。学会用离散傅里叶变换对信号进行谱分析。3.1 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）周期序列 x(n)用离散傅里叶级数（DFS）来表示。其中 X(k)称为周期序列的傅里叶系数，X(k)是一个周期序列，周期为 N即若原序列 x(n)的周期为 N，则其傅里叶系数 X(k)也是周期序列，且其周期也为 N 【例 3-1】设 x(n)的周期为 N=10，在一个周期内，求其离散傅里叶级数 X(k)，并画出其幅度特性 。解：由 DFS 的定义式得 离散傅里叶级数的幅度特性3.2 离散傅里叶变换（DFT）3.2.1 离散傅里叶变换的定义式3.2.2DFT 与 ZT、FT 之间的关系【例 3-2】周期序列 取其主值序列得到 x(n)，其表达式为求 x(n)的离散傅里叶变换 X(k)和傅里叶变换 X(e j)，画出 X(e j)的幅度特性 X(e j)，并与 X(k)进行比较。解：x(n)的傅里叶变换 FT 为绘出一个周期内 X(e j)的幅度特性曲线，如图所示。序列傅里叶变换的幅度特性序列 x(n)的 N 点 DFT 是其 Z 变换在 z 平面单位圆上的 N 点等间隔采样；同时 x(n)的 N 点 DFT 也是其傅里叶变换 X(e j)在区间 0,2 上的 N 点等间隔采样。这就是 DFT 与 FT 和 ZT 的关系，同时也表明了 DFT 的物理意义。3.3 离散傅里叶变换的性质3.3.1 DFT 的隐含周期性 X(k)X(k mN)x(n)x(n mN)（m 为整数）3.3.2 线性性质 3.3.3 循环移位性质1序列的循环移位 是指将有限长 N 的 x(n)进行周期延拓，得到周期序列 再将 移位得到 ，然后取主值序列 得到循环移位后的序列 2时域循环移位定理3频域循环移位定理 3.3.4 循环卷积性质1循环卷积的定义 2DFT 的循环卷积性质3循环卷积的计算:矩阵法【例】已知两个有限长序列x(n)1,2,3,4，h(n)4,3,2,1，求 4 点和 8 点循环卷积3.3.5 DFT 的共轭对称性 若则 3.4 频率域采样理论频率域采样理论假设序列 x(n)的长度 M，其傅里叶变换 X(e j)频率采样定理：如果序列 x(n)的长度是 M，其傅里叶变换 X(e j)在 0,2 区间上的 N 点等间隔采样值序列为 X(k)。只有当频域采样点数 N M 时才能使频域采样值序列 X(k)的离散傅里叶反变换序列 xN(n)不发生时域混叠现象。可由 xN(n)重建 x(n)，即保留原信号 x(n)的全部信息。而当 N M 时，会发生时域混叠现象，即 xN(n)无法恢复原序列 x(n)。3.5 应用实例3.5.1 利用 DFT 求卷积和1循环卷积和线性卷积的关系【例 3-4】已知两序列分别为 x1(n)1,1,1，x2(n)1,2,3,4,5，试计算两序列的线性卷积 以及 L 5,6,7,8 点的各循环卷积，解：线性卷积为 y(n)1,3,6,9,12,9,5显然，x1(n)的长度为 N1 3，x2(n)的长度为 N 2 5，因此两者线性卷积的长度为 N1 N 2 1 7。L 5 点：y5 10,8,6,9,12L 6 点：y6 6,3,6,9,12,9L 7 点：y7 1,3,6,9,12,9,5L 8 点：y8 1,3,6,9,12,9,5,0当点数 L N1 N 2 1 时，循环卷积等于线性卷积。2利用 DFT 卷积定理计算循环卷积和线性卷积可用 DFT 计算两序列的循环卷积，具体计算过程如图 所示。用 DFT 计算卷积示意图用 DFT 计算卷积时可以借助 DFT 的快速算法（FFT）进行计算，以提高计算速度。3.5.2 利用 DFT 对信号进行近似谱分析1连续频谱 Xa(jf)和离散频谱 X(k)的关系连续信号 xa(t)的傅里叶变换是 对 xa(t)以采样间隔 T，采样频率 f s 1/T 进行时域采样，得到 xa(nT)，设共采样 N 点，并对 X a(jf)作零阶近似得对 X a(jf)在区间 0,fs 上等间隔采样 N 点，采样间隔为 F，这里 F 称为“频谱分辨率”，显然满足有限长连续信号 xa(t)经过采样后形成离散信号，取其 DFT，再乘以 T，就可以得到其频谱的采样值。如果时域采样满足时域抽样定理，信号频谱没有丢失，可以通过 DFT 反变换的方法得到原采样信号。令则2时域和频域采样过程中参数的选择时域和频域采样过程中参数的选择 为避免在 DFT 运算中发生频率混叠现象，要求采样频率满足【例 3-5】对实信号进行谱分析，已知信号最高频率 f c5kHz 若要求频谱分辨率 试确定最小记录时间 Tpmin,最大的采样间隔 Tmax,最少的采样点数 N min。如果不变，要求频谱分辨率增加一倍时,求最少的采样点数和最小的记录时间是多少。解 为利用 FFT，N 通常取 2 的整数幂，这里可取 N 210 1024当频谱分辨率增加一倍时，可取3用 DFT 进行频谱分析的误差（1）栅栏效应解决办法：在原序列尾部补零，增加序列长度 N，即增加DFT 变换的点数。（2）频谱泄漏 矩形窗函数的频谱 截断前后的信号频谱的对比解决办法：一是增加采样点数，或者说使窗函数的长度增加，从而改善窗函数频谱的形状，减轻频谱泄漏的程度。二是改用其他类型的窗函数与原序列相乘，以减轻频谱泄漏的影响。