2022-2023学年河北省张家口市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省张家口市高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． C 【分析】根据并集概念求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】解：命题“”为存在量词命题， 其否定为. 故选：C 3．p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质知； 等腰梯形对角线也相等， 所以推不出， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． 4．若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．0 D．1或 C 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验是否符合集合元素的互异性，即可得解. 【详解】解：因为， 所以或， 由，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 所以. 故选：B 5．已知函数的对应关系如下表，则（    ） x 0 1 2 3 2 1 3 0 3 2 0 A．0 B．2 C． D．1 B 【分析】根据复合函数求值的方法分步求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 6．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． D 【分析】若函数的定义域为，则复合函数有意义要满足. 【详解】因为函数的定义域为，则有意义要满足，解得， 故选：D 7．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． C 【分析】根据分段函数单调性列方程组即可求解. 【详解】由题知：函数在R上单调递增， 所以， 解得， 故选：C. 8．若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． C 【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m的范围即可． 【详解】解：由题意得，使得， 当，符合题意； 当，只要即可， 解得， 综上：． 故选：C． 二、多选题 9．下列选项中的函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． BC 【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断； 【详解】解：对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：，两函数的定义域相同均为，且解析式一致，故是同一函数，故B正确； 对于C：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确； 对于D：定义域为，但是 定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误； 故选：BC 10．已知奇函数在上单调递增，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 AD 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解即可． 【详解】解：∵ 为奇函数，， ，故A对； ∵在处不一定有定义， 不一定成立，故B错； 由单调性得， ，故C错； 由得，故D对． 故选：AD． 11．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的最小值为2 D．已知，若，则的最小值为 ABD 【分析】由不等式的性质判断A、B，用基本不等式求最值判断C、D． 【详解】解：，故A对； 由，则，故，故B对； ， 因为，所以等号取不到，故C错； ， 当，即时取等号，故D对． 故选：ABD． 12．已知Dirichlet函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．的值域为 D． AB 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：由是无理数知， 又是有理数时，， 是无理数时，， 所以对，都有， 故为偶函数， 故正确． 的值域为，C错； 当时，，， 故D错． 故选：AB． 三、填空题 13．写出一个在上单调递增的奇函数____________． （答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可. 【详解】解：令，则，故为奇函数， 且函数在定义域上单调递增， 故（答案不唯一） 14．已知是偶函数，当时，，则当时，____________． 【分析】设，则，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 设，则，此时， 又函数是偶函数，可得， 所以. 故答案为. 15．函数的值域是_____________. 【分析】由，知，当时，，解得，检验当时不成立，由此能求出函数的值域. 【详解】，， 整理，得， 当时，， 解得， 当时，不成立，，故答案为 . 本题考查了函数值域的求法，高中函数值域求法有：1观察法；2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.数形结合法；7.不等式法；8.分离常数法；9.单调性法；10.利用导数求函数的值域； 11.最值法；12.构造法； 13.比例法,要根据题意选择 . 16．不等式的解集为，若集合，，则____________． 【分析】依题意和为方程的两根且，利用韦达定理得到、，再求出集合、，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根且， 所以，即、， 所以不等式，即，即，解得，即， 不等式即，即，解得或， 所以或 则， 所以. 故 四、解答题 17．已知集合，集合． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． (1) (2) 【分析】(1)解不含参一元二次不等式得到集合. (2)根据集合A与集合B之间的包含关系，利用数轴求得的取值范围. 【详解】（1）由得， 故由得 所以. （2），，若，则，如图所示： 所以， 故实数的取值范围： 18．已知函数，用表示中的较大者，记为． (1)作出函数的图像，并写出它的单调区间； (2)判断函数是否有最小值？如果有，请直接写出它的最小值；如果没有，请说明理由． (1)作图见解析；单调递减区间为，递增区间为； (2)存在最小值为1． 【分析】（1）由题意作出图像即可求得单调区间； （2）根据函数的值域与的值域相同，求得最小值． 【详解】（1）解：如图 由的定义求得 ， 令， 解得或， 由图像知单调递减区间为， 递增区间为． （2）解：函数的值域与的值域相同， ∴ 由图像知当时，存在最小值为1，即函数在 时存在最小值为1， 因为函数为偶函数，所以当时，函数取最小值1 19．张三准备在一块占地面积为的矩形地块中开垦两块菜地，菜地均为长，宽的长方形，菜地周围均为宽的小路，如图所示． (1)若两块菜地的面积和为S，试用x，y表示S； (2)求S的最大值及此时x，y，a，b的值． (1) (2)，，， 【分析】（1）首先根据题意用，表示出菜地的长和宽，然后利用矩形的面积公式直接求解即可. （2）根据（1）及可得，然后利用基本不等式即可求出的最大值，利用取等条件求出取得最大值时的值，进而求出，，. 【详解】（1）由题意知，菜地周围的小路均为宽， 所以菜地的长为，宽为. 两块菜地的面积和为， ，. （2）由（1）知，， ，，， 当且仅当，即时等号成立. 此时，，. 故当取得最大值时，，，，. 20．已知函数． (1)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． (1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）依题意恒成立，则，解得即可； （2）原不等式整理即，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可得解. 【详解】（1）解：因为且关于的不等式恒成立， 所以恒成立， 则，即，解得，即实数的取值范围为； （2）解：不等式，即，即， 当时原不等式即，解得； 当时，解得，即原不等式的解集为； 当时，解得，即原不等式的解集为； 综上可得：当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为. 21．已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于t的不等式． (1)在为增函数，证明见解析。 (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明函数在为增函数。 （2）首先根据题意得到函数在R上为偶函数。 【详解】（1）设任意，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在为增函数。 （2）因为定义域为R，， 所以函数在R上为偶函数。 又因为函数在为增函数，所以函数在为减函数。 因为，所以， 所以，解得 22．形如的函数的图像很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增． (1)当时，请举例说明在上不是增函数； (2)已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围． (1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据单调递增的定义说明即可； （2）根据的值域是值域的子集求a的取值范围． 【详解】（1）解：令得， 令得， ，但值相等， ∴ 在上不是增函数； （2）解：， 令， 则， ∴ 由题意知在上递增， ， ， 即． 对，单调递减， ． 由题意知， ， 解得， 故实数a的取值范围为． 本题解题的关键是求出的值域，可以通过换元构造题干中的“两撇函数”求得．