2022-2023学年广西桂林市高二年级上册学期期中检测数学试题【含答案】

2022-2023学年广西桂林市高二上学期期中检测数学试题 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 C 【分析】根据空间中两点间的距离公式求解即可. 【详解】 故选：C 本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，属于基础题. 2．过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． D 【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：D 3．圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3 C． D． D 【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可. 【详解】根据圆的标准方程可得， 的圆心坐标为，半径为， 故选：D. 4．若直线与圆相切，则 A． B． C． D． C 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0）， 所以. 故选C 本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．已知直线：与：平行，则的值是（   ）. A．或 B．或 C．或 D．或 C 【详解】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值． 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5， 故选 C． 6．椭圆的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， A 【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求． 【详解】由题得方程可化为， 所以 所以焦点为 故选：A. 7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则＝（    ） A． B．2 C．4 D． D 【分析】根据椭圆的标准方程求出，可求得的值. 【详解】由得，所以，所以， 所以，所以. 故选：D 8．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． A 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 二、多选题 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ACD 【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，，故， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 故选：ACD. 10．若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的长轴长为 C．的长轴长为4 D．的离心率为 AB 【分析】先根据焦点坐标求出，结合选项逐个验证. 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或（舍）， 所以椭圆的方程为，长轴长为，离心率. 故选：AB. 11．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为： D．离心率为 CD 先化简椭圆方程为标准方程，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解. 【详解】由椭圆方程化为标准方程可得， 所以 ， 所以长轴长为，焦距，焦点坐标为， 短轴长为，离心率. 故选：CD 12．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 ABC 【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出. 【详解】圆的圆心坐标，半径 圆 ，即的圆心坐标，半径 ∴圆心距 又在圆上，在圆上 则的最小值为，最大值为． 故A、B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为，C正确； 圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误. 故ABC 三、填空题 13．若直线与直线互相垂直，则实数=_______ 【详解】：，即 14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_________. 【分析】将两个圆的方程“相减”求得相交弦所在直线方程， 【详解】即， ， 两式相减得， 所以直线的方程是. 故 15．直线与圆交于两点，则________． 【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出． 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用 根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以． 故答案为. ［方法二］：距离公式的应用 由解得：或，不妨设， 所以． 故答案为. ［方法三］：参数方程的应用 直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以． 故答案为. 【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦； 方法三：直线参数方程中弦长公式的应用． 16．已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______． 【分析】本题首先可以联立两直线方程得出线段的中点为，然后设出交点坐标分别为、并根据中点坐标的相关性质得出以及，再然后将、代入椭圆方程中并整理，得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】联立，得，， 故直线与的交点为，线段的中点为， 设与的交点分别为、， 则，，直线的斜率， 分别把、代入椭圆方程，得， 两式相减整理，得， 即，，，，， 故答案为. 本题考查中点坐标的相关性质以及直线与椭圆相交的相关运算，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的、以及三者之间的关系，考查化归与转化思想，是中档题. 四、解答题 17．在中，已知，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. （1）；（2）. 【分析】（1）由直线方程的两点式可得； （2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可. 【详解】（1），， 边所在的直线方程为，即； （2）设到的距离为， 则， ， 方程为：即： . . 18．已知点和 （1）求直线的斜率和的中点的坐标； （2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程． (1)斜率为1，坐标为 (2) 【分析】（1）利用斜率公式和中点坐标公式即可求出，求直线的斜率和的中点的坐标； （2）圆经过两点且圆心在直线上，根据圆的标准方程，利用待定系数法求圆的方程． 【详解】（1）由已知可得 ， 的中点的坐标为(2,0). （2）设圆心为，半径为 圆心在直线上，，则点为 由题意可得 解得 ， 圆的标准方程为. 本题考查了直线斜率公式和线段中点坐标公式，同时考查了圆的方程的求法，考查学生的计算能力，属于基础． 19．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过点，两点； (2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点． (1) (2) 【分析】（1）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，有椭圆的标准方程形式可得答案. （2）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可. 【详解】（1）（1）解：由题意得： ， P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上 ， 故所求椭圆的焦点在x轴上 设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去) 所以椭圆的标准方程为. 20．如图，在三棱锥中，平面平面，若为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角. (1)证明见解析； (2). 【分析】（1）可得，根据面面垂直的性质定理可得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量后可求线线角. 【详解】（1）因为，为的中点，故， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面. （2）连接， 因为，为的中点，故，由（1）可得平面， 因为，故， 故为等腰直角三角形，故，同理. 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，故， 而，故，故异面直线和所成角为. 21．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. (1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可； （2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求 【详解】（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE， 又平面BFC，∴平面BFC平面ADE， ∵平面BFC，∴∥平面； （2）建立空间直角坐标系如图，则， 设平面CDF的法向量为，则，取得， 平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 22．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． （1）；（2）. 【分析】（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得 ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积. 【详解】（1），， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即． （2）［方法一］：通性通法 不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ，， ， 又， ， ，根据三角形全等条件“”，可得：， ，，， 设点为，可得点纵坐标为，将其代入， 可得：，解得：或，点为或， ①当点为时，故， ，，可得：点为， 画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为， 根据两点间距离公式可得：，面积为：； ②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为， 根据两点间距离公式可得：， 面积为： ，综上所述，面积为. ［方法二］【最优解】： 由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，． 故， ①因为，如图，所以，． ②因为，如图，所以． 综上有 ［方法三］：