2022-2023学年福建省南平市高级中学高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省南平市高二上学期期中数学试题 一、单选题 1．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． C 【分析】利用椭圆方程求解a，b，得到c，即可求出焦点坐标. 【详解】解：椭圆，可得，，则， 所以椭圆的焦点坐标. 故选：C. 2．“”是“直线：与直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C 【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可. 【详解】若直线：与直线：平行，则，可得. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意. 所以“直线：与直线：平行”等价于“”. 所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件. 故选：C 3．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． C 【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为． 圆的标准方程． 4．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． D 【分析】先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出. 【详解】解：∵向量，， ∴， ∵，∴， 解得. 故选：D. 5．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 6．一直线l经过点，倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线的方程是（    ） A． B．． C． D． B 【分析】先由已知直线的方程求出直线的斜率，从而得到已知直线的倾斜角，又根据到直线的倾斜角是已知直线倾斜角的一半，得到直线的倾斜角等于，进一步根据点斜式写出直线的方程. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率等于， 根据直线倾斜角与斜率之间的关系得： 直线的倾斜角等于， 所以直线的倾斜角等于， 则直线的斜率等于， 利用点斜式得直线的方程为：， 整理化简得直线的方程为：， 故选：B. 求解直线方程时应该注意以下问题： 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围； 二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论； 三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论. 7．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】 故选：B 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的左支上有、两点使得.若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． D 【分析】设，可得，利用双曲线的定义可求得和的周长，由已知条件求得，再由可求得双曲线的离心率的值. 【详解】设，则由，得. 由于，， 所以，. 则的周长为， 的周长为. 根据题意得，得， 又因为，即， 所以，代入，得， 可得，解的， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：D． 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题. 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 AC 【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可. 对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横纵坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确. 对B, 在轴上的截距为.故B错误. 对C,直线的斜率为,故倾斜角满足, 即.故C正确. 对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误. 故选：AC. 10．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆方程为 B．椭圆方程为 C． D．的周长为 ACD 【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案． 【详解】由已知得，2b=2，b=1，， 又，解得， ∴椭圆方程为， 如图： ∴，的周长为． 故选：ACD． 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 11．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1 B．直线AB的方程为x－2y－4＝0 C．线段AB的长为 D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为 ABD 【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D． 【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1， 则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确； 联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项， 可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确； 圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2， 则线段AB的长为2，故C错误； 令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径， 可得，解得t＝4． ∴2a－b的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ） A． B．与平面所成角为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 AD 【分析】设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确. 对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误. 对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误. 对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 此时. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，此时， 所以， 所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确. 故选：AD. 三、填空题 13．直线恒过一定点，则该定点坐标为_______ 【分析】直线方程可化为，令，即可得出答案. 【详解】解：直线方程可化为， 令，解得， 所以直线过定点. 故 14．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________. 【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答. 【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则， 因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图， 过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则， 所以. 故 15．是双曲线的上焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线下支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为_______． 【分析】连接，根据圆和正三角形性质可知，为含有的，再利用双曲线定义得到的关系，可求出双曲线离心率. 【详解】如图连接， 是圆的直径，，， 又是等边三角形，， 在中：，， 由双曲线的定义得 双曲线的离心率为． 故 16．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则________. 根据已知条件可得、是双曲线的左、右焦点，由圆切线的性质可得，由双曲线的几何性质可求出最小值，即可求出. 【详解】解：由得，，则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心， ∴ ，当在轴上时，最小为， 则最小值为，解得. 故答案为:. 关键点睛： 本题考查了双曲线的几何性质，本题的关键是结合图形和双曲线的定义，明确何时取最小值，从而结合已知条件即可求出半径. 四、解答题 17．已知直角坐标平面内的两点，. (1)求线段的中垂线所在直线的方程； (2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程. (1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而求出方程； （2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程． 【详解】（1）∵， ∴中点为.且. ∴线段的中垂线的斜率为1， ∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即. （2）∵关于轴的对称点， ∴ 所以直线的方程为：， 即反射光线所在的直线方程为 18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝． (1)求证：PC∥平面BMD； (2)求二面角M－BD－P的大小． (1)证明见解析 (2) 【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证； 取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小. 【详解】（1）连接AC交BD于N，连接 在正方形ABCD中，， ∴N是AC的中点. 又M是AP的中点， ∴MN是的中位线，， ∵面BMD，面BMD， ∴∥平面BMD， （2）取AD的中点O，连接OP， 在中，，O是AD的中点， ∴， 又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面， ∴平面 在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点， ∴， ∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，，，， ∴，， 设平面MBD的一个法向量， 则，即 取，得， ∴是平面MBD的一个法向量： 同理，是平面PBD的一个法向量， ∴， 设二面角的大小为， 由图可知，，，且为锐角， ∴， 故二面角的大小是 19．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求A，B中点坐标及弦长. (1) (2)， 【分析】（1）由已知结合焦半径公式求得，则抛物线方程可求； （2）设，，，，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理求得，，再求得，从而可得中点坐标，再由弦长公式求弦长． 【详解】（1）解： 在抛物线上，且， ，则， 故抛物线的方程为； （2）解：联立，可得． 设，，，， ，， 则， 所以A，B中点坐标， ． 20．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且双曲线C过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为，，直线l过点且斜率为1，直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积． (1)； (2). 【分析】(1)根据给定条件求出双曲线C的左右焦点，的坐标，再借助定义求出a，b作答. (2)由(1)求出直线l的方程，再与双曲线C的方程联立，求出点A，B纵坐标差的绝对值即可计算作答. 【