2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省无锡市太湖高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．设集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． B 【分析】由交集定义进行运算即可 【详解】由交集定义，. 故选：B 2．下列各对函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．， D．与 D 【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故A错误； 对于B，因为，所以与不是同一函数，故B错误； 对于C，因为的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故C错误； 对于D，对于，当时，；当时，；即，显然与是同一函数，故D正确. 故选：D. 3．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知，则取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． B 【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由，当且仅当时，即时等号成立． 故选：B. 本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 5．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． B 【分析】根据题意得在R上恒成立，考虑，与两种情况，结合根的判别式进行求解． 【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立， 当时，满足要求， 当时，要满足，解得：， 综上： 故选：B 6．定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法正确的是（    ） A．仅有一个单调增区间 B．有两个单调减区间 C．在其定义域内的最大值是5 D．在其定义域内的最小值是－5 C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性和最值情况即可作出判断. 【详解】因为是上的偶函数，所以在上的图像如下图所示： 由图可知：在内存在单调递减区间和，递增区间， 所以在上有递增区间和，递减区间， 即在上有3个单调增区间，A错误；, 在上有3个单调减区间，B错误； 在处取得最大值5，故在处也取得最大值5，C正确； 由图可知，无法知晓在其定义域内的最小值，D错误. 故选：C 7．已知为奇函数，则等于（    ） A．－16 B．－14 C．14 D．16 A 【分析】要求的值，需要先求出，利用函数奇偶性得到即可解决. 【详解】是奇函数，， 又，则., . 故选：A 8．定义在上的偶函数满足，且对任意的有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． B 【分析】由题意与函数单调性的定义可的单调性，再结合偶函数与，可得在定义域上的正负情况，列表讨论与的正负情况即可求得所求. 【详解】因为对任意的有，所以在上单调递增， 因为是偶函数，所以在上单调递减， 又，所以， 结合的单调性，可得与的正负情况如下： 因为，所以由得，即与异号， 所以由上表可得. 故选：B. 二、多选题 9．已知集合，，若，则满足条件的实数x可以是（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 ABD 【分析】根据包含关系的定义，列式求，并验证是否满足互异性. 【详解】由得，，满足互异性；由得，，而不满足互异性，所以舍去；满足的条件的值有： 故选：ABD. 10．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 CD 【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出， 当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误; 对于B，如，但，所以推不出， 如，但，所以推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 因为若则一定成立，但若则不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确; 由得，，由可推出，不能推出， 所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件， 故D正确; 故选:CD. 11．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 BD 【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，若，则，，即，故B正确. 对于C，取，故C错误. 对于D，若，则=， 因为，所以，所以，即，故D正确. 故选：BD 12．已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为4 BC 【分析】根据奇函数可求解判断A，根据自变量即可代入求值判断B，结合函数的图象即可判断CD. 【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A错误； ，所以，故B正确； 由奇函数知，所以当时，， 当时，，画出图象，如图， 令，解得或，令时，解得或， 由图象可知，要使值域为，， ，故C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题 13．命题“”的否定形式是________. ， 【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解； 【详解】解：命题“”为全称量词命题，其否定为：，； 故， 14．若一个奇函数的定义域为，则的值为______________． 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值. 【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有 故或； 若，则，必有，则，所以； 若，则，必有，则，所以； 综上. 故答案为. 15．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________． 【分析】根据基本不等式可求得的最小值为，则，解不等式即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 解得， 故答案为. 四、双空题 16．定义：闭区间的长度为．则不等式的解集区间长度为______________；若不等式的解集区间长度为6，则实数m的值是______________．      6     【分析】解一元二次不等式即可求出不等式的解集区间长度；解绝对值不等式即可求出实数m的值. 【详解】不等式等价于， 解得：， 所以不等式的解集区间长度为. 由不等式可得：，解得：， 因为不等式的解集区间长度为6，所以， 解得. 故； 五、解答题 17．试比较下列各组中两个代数式的大小 (1)与; (2)当时,与4． (1) (2) 【分析】(1)对两式进行做差化简判断与零的大小关系,即可判断出大小; (2)对两式进行做差通分化简合并判断与零的大小关系,即可判断出大小. 【详解】（1）解:由题知,, 故; （2）, , , 即. 18．已知集合，集合 (1)当时，求； (2)记：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． (1) (2) 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得Ü，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）解：由，解得， 所以， 当时， 所以或， 又， 所以； （2）解：因为是的必要不充分条件， 所以Ü， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 19．已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． (1)； (2). 【分析】（1）因为，则说明集合，然后求解即可； （2）按照元素的个数分集合为空集，集合有一个元素，集合有两个元素讨论，最后不同情况求出的取值取并集即可. 【详解】（1）化简，得， 因为，则， 所以有，解得或， ，解得或， 综上，. （2）化简，得， 因为，则， 当时，有，解得或； 当集合只有一个元素时，有，得或， 当时，集合显然不满足， 当时，集合显然不满足； 当集合有两个元素时，则，所以， 所以有，解得或， ，解得或，故； 综上所述 20．已知函数， (1)判断函数在上的单调性并证明； (2)若集合，对于都有，求实数的取值范围． (1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可； （2）由（1）中函数的单调性求出集合，依题意都有，参变分离可得，对恒成立，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：在上单调递减， 证明：设， 则， 又由， 则，，， 则， 故函数在上单调递减； （2）解：由（1）可得在上单调递减，又、， 所以， 因为都有，即都有， 所以，对恒成立， 令，， 因为在上单调递减，所以， 所以. 21．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？ (2)若使每间虎笼面积为36，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (1)长为6m,宽为4m时，面积最大值为； (2)长为 、宽为时，钢筋网总长最小为. 【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值. （2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为， 则， 所以，即，所以， 当，即时等号成立. 所以每间虎笼的长为6m,宽为4m时，面积的最大值为； （2）解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为， 则钢筋网总长为， 所以钢筋网总长最小为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当每间虎笼的长为 、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为. 22．已知二次函数，，对任意，，且恒成立． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数的最小值为5，求实数的值． (1) (2) 【分析】（1）根据得到，根据恒成立得到，结合，求出，，求出二次函数解析式； （2）结合第一问，将写出分段函数，分，与三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数的值. 【详解】（1）由题意得：，且， 恒成立， 故， 将代入中，， 故，从而， 由得：， 整理得，故， 联立与，解得：， 故， 二次函数解析式为； （2）函数的最小值为5， ， 且，即在端点处分段函数的函数值相等， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，即，解得：，符合要求； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，即，解得：，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，即，解得：，符合要求； 综上.