计算题夯基练习（四）
1、(2019·合肥模拟)
如图所示，一劲度系数很大的轻质弹簧下端固定在倾角θ=30°的斜面底端，将弹簧上端压缩到A点锁定。一质量为m的小物块紧靠弹簧上端放置，解除弹簧锁定，小物块将沿斜面上滑至B点后又返回，A、B两点的高度差为h，弹簧锁定时具有的弹性势能EP=mgh，锁定及解除锁定均无机械能损失，斜面上A点以下部分的摩擦不计，已知重力加速度为g。求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数。
(2)物块在上滑和下滑过程中的加速度大小之比。
(3)若每次当物块离开弹簧后立即将弹簧压缩到A点锁定，当物块返回A点时立刻解除锁定。设斜面最高点C与A的高度差为3h，试通过计算判断物块最终能否从C点抛出。
【解题指导】解答本题应注意以下三点：
(1)弹簧解锁的过程中弹簧的弹性势能转化为物块的动能，物块上升的过程中动能转化为重力势能和摩擦力产生的内能。
(2)物块上升的过程和下降的过程根据牛顿第二定律列方程求加速度。
(3)物块运动稳定时，弹簧给物块补充的弹性势能将全部转化为物块在斜面上来回运动时因摩擦产生的热量。
【解析】(1)物块从A第一次上滑到B的过程中，由能量守恒定律得：
Ep=μmgcosθ·+mgh
即： mgh=μmgcosθ·+mgh
解得：μ=
(2)在上升的过程中和下滑的过程中物块都受到重力、支持力和滑动摩擦力的作用，设上升和下降过程中的加速度大小分别是a1和a2，根据牛顿第二定律得：
物块上升过程有：mgsinθ+μmgcosθ=ma1
解得： a1=g(sinθ+μcosθ)= g
物块下滑过程有：mgsinθ-μmgcosθ=ma2
解得： a2=g(sinθ-μcosθ)= g
故：a1∶a2=5∶3
(3)经过足够长时间后，弹簧给物块补充的弹性势能将全部转化为物块在斜面上来回运动时因摩擦产生的热量，设稳定时物块上升的最大高度为hm，则由能量守恒定律得：
Ep=2μmgcosθ·
即： mgh=2μmgcosθ·
解得：hm=2.5 h<3 h
所以物块不可能到达C点，即不能从C点抛出
答案：(1) (2)5∶3
(3)物块不能从C点抛出 计算过程见解析
2、(2019·宿州模拟)
如图所示，倾角θ=37°的粗糙斜面的底端A与水平传送带相接触，传送带正以v=4 m/s的速度顺时针匀速转动，质量为2 kg的物体(可视为质点)从斜面上O处由静止下滑，经过时间1.5 s滑到斜面底端A。已知O、A之间距离LOA=4.5 m，传送带左右两端A、B间的距离LAB=10 m，物体与传送带间的动摩擦因数μ2=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2，不计物体经过A时的动能损失。
(1) 求物体沿斜面下滑的加速度大小。
(2) 求物体与斜面间的动摩擦因数μ1。
(3) 物体在传送带上向左运动时是否会从B端滑出？如果滑出，求离开B点的速度大小？如果不滑出，求物体返回到A点的速度大小。
【解析】(1)由匀变速运动方程
LOA=at2，a=4 m/s2。
(2)由牛顿第二定律 mgsinθ-μ1mgcosθ=ma，
解得μ1=0.25。
(3) 由匀变速方程，
vA=at=6 m/s，a1=μ2g=5 m/s2，
x==3.6 m<10 m，不会从B点滑出，
物体向右返回，加速到相对传送带静止所需距离x′==1.6 m
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