浙江省金丽衢十二校2021-2022学年高三上学期期末第一次联考数学试题Word版含解析

金丽衢十二校2021学年高三第一次联考 数学试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】由已知可得，因此，. 故选：A. 2. 设，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数的代数式即可. 【详解】因为 ，故在复平面内z对应的点位于第二象限，故B正确. 故选：B 3. 实数x，y满足条件则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项． 【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示， 由，解得，目标函数化为，当目标函数过点A时，z取得最小值， 所以的取值范围是， 故选：C． 4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图，再将几何体补成三棱柱，分别求得三棱柱与四棱锥的体积，作差即可. 【详解】在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图， 且，， 将几何体补成三棱柱如图： 则几何体的体积， 且，，， ，由对称性可得， 所以几何体的体积， 故选：D 5. 过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆与，轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】设圆心为，由已知得， 解得，，或，， 所以圆心为或． 当圆心为时，圆心到直线的距离； 当圆心为时，圆心到直线的距离． 故选：B． 6. 设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断、、的符号即可. 【详解】由，得， 因为是等差数列，所以，，， ，，， 所以， 使得的正整数n的最小值为. 故选: D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理结合充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】当为锐角时，等价于，由余弦定理，得， 有，即等价于， 在中，，， 若为锐角， 则， 充分性成立； 若，不妨令，满足， 但，不为锐角，所以必要性不成立. 故“为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答. 【详解】依题意，，求导得， 观察的图像得：，即，的另一个零点为，即， 所以有，. 故选：D 9. 当实数m变化时，不在任何直线上所有点形成的轨迹边界曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】将直线看作是关于的一元二次方程，根据题意知，该方程无解时的就是不在任何直线上的所有点形成的轨迹，然后根据判别式建立不等式即可 【详解】可化简为： 则有： 化简可得： 故轨迹边界曲线是： 则不在任何直线上的所有点形成的轨迹边界曲线是椭圆. 故选：B 10. 在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 可能值为 D. 当取值最大时， 【答案】C 【解析】 【分析】对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明与全等，然后根据直线垂直并平分线段即可判断；对选项B，找到角的关系和，然后分别运用正切的两角差公式解得即可；对选项C和D，均是先根据运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断. 【详解】 如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面 顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面 则有：直线与平行 又，则 平面，则 又 则平面 从而 故为与平面的二面角，即 同理可得： 对选项A，，又，则有： 可得：与全等，则 又根据是的垂心，则， 综上可得：直线垂直并平分线段 可得：，故选项A正确； 对选项B，易知有如下角关系： 又，则有： 可得： 解得： 则，故选项B正确； 对选项C，若，则有： 则有： 化简后可得： 令，则有： 则有：，此时方程无解，故选项C错误； 对选项D，设（），则有： 可化简为： 令，则有： 则有： 解得： 故取得最大值时，，此时 同理可得： 故，且 则有：，故选项D正确； 故选：C 【点睛】二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分） 11. 若双曲线的离心率为，则实数a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由离心率公式，解方程可得的值． 【详解】双曲线的离心率， 可得， 解得， 故答案为：． 12. 甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是，，则2人中恰有1人投进的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件表示“甲投进”，表示“乙投进”，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 【详解】设事件表示“甲投进”，表示“乙投进”， 则（A），（B）， 人中恰有1人投进的概率： ． 故答案为：． 13. 杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出，后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明．杨辉三角中的三角形数表，是自然界和谐统一的体现．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其中蕴含着二项式系数的性质，例如递推性质．在的展开式中，第三项和第四项的二项式系数和为______，常数项为______． 【答案】 ①. ②. ； 【解析】 【分析】根据二项式定理可知第三项和第四项的二项式系数分别为，，从而可求出答案； 根据二项式定理的通项公式可求出常数项. 【详解】在的展开式中，第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，所以第三项和第四项的二项式系数和； ， 令，得，所以， 所以常数项为. 故答案为：；. 14. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则角______；若，，成等比数列，则______． 【答案】 ①. 120°## ②. ； 【解析】 【分析】（1）将利用二倍角公式化简整理，得 ，解出，求得答案‘ （2）根据，，成等比数列，得到，再结合余弦定理，得到关系式，利用正弦定理边化为角，进而求得答案. 【详解】由得：, 即，， 解得 或（舍去）， 所以 ； 由，，成等比数列得： ， 又 即, 整理得，即， 所以, 所以,解得 , 而 ,故， 故答案为：； 15. 随机变量的分布列如下表，其中．当______时，取最大值；当______时，有最大值． P p 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】求出、的表达式，利用一次函数和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】由题意可得，故当时，取最大值； ， 故当时，取最大值. 故答案为：；. 16. 已知函数．若存在实数a，使得集合中的元素至少有2个，则实数t的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为函数与图象至少有2个交点，然后讨论函数的单调性和极值，进而求得答案. 【详解】问题可以转化为函数与的图象至少有2个交点. 由题意， 当时，则，若，则，单调递增；若，则时，，单调递减，时，，单调递增. 当时，则单调递增（增+增）. 于是，（1）当时，在上单调递增，函数与的图象至多只有1个交点，不合题意； （2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极大值为，时，函数取得极小值为. 限定，，则当且时，. 限定，，设，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，所以，.于是，且时，. 故当时，函数与的图象至少有2个交点，此时. 设，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，于是t的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】首先将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在第（2）步求出函数的单调区间和极值后一定要注意，必须要说明在的左侧是否存在比极小值更小的值，在的右侧是否存在比极大值更大的值，进而才能解决问题. 17. 平面向量，，满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案. 【详解】可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以， 在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即， 因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即， 在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故. 故答案为： 【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解. 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 设，将奇函数图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像． （1）求a的值及函数的解析式； （2）设，，求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质，确定的值，再根据图象变换的规律，确定的解析式； （2）先写出具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域. 【小问1详解】 因为是奇函数，且在处有定义， 可知，得到， 因，所以， 由图象向左平移个单位得到，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 可得. 【小问2详解】 由（1）可得： ，， ∵，∴， ∴. 19. 在三棱台中，，，，点在棱上，且满足，，，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明平面，进而根据即可证明； （2）结合（1）得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，再结合平面与平面为同一个平面将问题转化为求平面的一个法向量，再根据向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为，， 所以中，． 又因为，， 所以． 又因为，， 所以平面， 因为在三棱台中，， 所以平面； 【小问2详解】 解：结合（1）得， 所以两两垂直，故以为原点，方向分别为轴，过且与平行的