人教版勾股定理单元 易错题提优专项训练试题

人教版勾股定理单元人教版勾股定理单元 易错题提优专项训练试题易错题提优专项训练试题一、解答题一、解答题1如图，己知RtABC，ACB90，BAC 30，斜边AB 4，ED为AB垂直平分线，且DE 2 3，连接DB，DA.（1）直接写出BC _，AC _；（2）求证：ABD是等边三角形；（3）如图，连接CD，作BF CD，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且CP 1AC，连接PE，直接写出PE的长.32如图 1，已知ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 CDAE，AD 与BE 相交于点 F（1）求证：ABECAD；（2）如图 2，以 AD 为边向左作等边ADG，连接 BG）试判断四边形 AGBE 的形状，并说明理由；）若设 BD1，DCk（0k1），求四边形 AGBE 与ABC 的周长比（用含 k 的代数式表示）3如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AC，BC 上的点，且满足 DEEF，垂足为点E，连接 DF（1）求EDF=（填度数）；（2）延长 DE 交 AB 于点 G，连接 FG，如图 2，猜想 AG，GF，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）若 AB=6，G 是 AB 的中点，求 BFG 的面积；设 AG=a，CF=b，BFG 的面积记为 S，试确定 S 与 a，b 的关系，并说明理由4已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于 2 的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例5如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，ABC，ADE，AFO均为等边三角形，A在y轴正半轴上，点B(6,0)，点C(6,0)，点D在ABC内部，点E在ABC的外部，AD 3 2，DOE30，OF与AB交于点G，连接DF，DG，DO，OE.（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG的周长.6如图 1,ABC 和CDE 均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ACCD,ACB=DCE=a，且点A、D、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证:AD=BE.(2)如图 2,若 a=90，CMAE 于 E.若 CM=7,BE=10,试求 AB 的长.(3)如图 3,若 a=120,CMAE 于 E,BNAE 于 N,BN=a,CM=b,直接写出 AE 的值(用 a,b 的代数式表示).7如图，点 A 是射线 OE：yx（x0）上的一个动点，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，过点 B 作 OA 的平行线交AOB 的平分线于点 C（1）若 OA52，求点 B 的坐标；（2）如图 2，过点 C 作 CGAB 于点 G，CHOE 于点 H，求证：CGCH（3）若点 A 的坐标为（2，2），射线 OC 与 AB 交于点 D，在射线 BC 上是否存在一点 P使得ACP 与BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由在（3）的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），请你判断也满足ACP 与BDC 全等的点是（写出你认为正确的点）8如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB2，CD 是边 AB 的高线，动点 E 从点 A出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿射线 CB 运动设 E 的运动时间为 t（s）（t0）（1）AE（用含 t 的代数式表示），BCD 的大小是度；（2）点 E 在边 AC 上运动时，求证：ADE CDF；（3）点 E 在边 AC 上运动时，求EDF 的度数；（4）连结 BE，当 CEAD 时，直接写出 t 的值和此时 BE 对应的值9如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边上一点，连接CE，BD.CE与BD交于点F，且CEAB.（1）求证:CED ADB；（2）若AB=8，CE=6.求BC的长.10如图，一架长 25 米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7 米（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑 4 米，那么梯子底端将向左滑动多少米？11（1）如图 1，在RtABC中，ACB90，A 60，CD平分ACB.求证：CA AD BC.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC关于直线CD的对称图形ADC，CD平分ACB，A点落在CB上，且CACA，AD AD.因此，要证的问题转化为只要证出AD AB即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC CD10，AC 17，AD9，求AB的长.12已知ABC中，AB AC.（1）如图 1，在ADE中，AD AE，连接BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE（2）如图 2，在ADE中，AD AE，连接BE、CE，若DAE BAC 60，CE AD于点F，AE4，EC 5，求BE的长；（3）如图 3，在BCD中，CBD CDB 45，连接AD，若CAB 45，求AD的值.AB13如图，ABD为边长不变的等腰直角三角形，AB AD，BAD 90，在ABD外取一点内部，E，以A为直角顶点作等腰直角AEP，其中P在ABDEAP90，AE AP 2，当 E、P、D 三点共线时，BP 7下列结论：E、P、D 共线时，点B到直线AE的距离为5；E、P、D 共线时，SADPSABP 1 3；5SABD=3；2作点A关于绕点BD的对称点C，在AEPA旋转的过程中，PC的最小值为5+2 3 2；AEP绕点A旋转,当点E落在AB上，当点P落在AD上时，取BP上一点N，使得AN BN，连接ED，则AN ED其中正确结论的序号是_14如图，ABC 中 AC=BC，点 D，E 在 AB 边上，连接 CD，CE(1)如图 1，如果 ACB=90，把线段 CD 逆时针旋转 90，得到线段 CF，连接 BF，求证：ACD BCF；若 DCE=45，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图 2，如果 ACB=60，DCE=30，用等式表示 AD，DE，BE 三条线段的数量关系，说明理由15如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：22，CD3 6，求线段 AB的长16如图，在ABC中，BAC90，AB AC，点D是BC上一动点、连接AD，过点A作AE AD，并且始终保持AE AD，连接CE，（1）求证：ABD ACE；（2）若AF平分DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；若BD 3，CF 4，求AD的长，117（1）计算：3 12 23482 3；（2）已知 a、b、c 满足|a2 3|3 2 b(c30)2 0判断以 a、b、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由18如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，AC b，BC a，如图 1，若ACB90，b a，b 6，求a的值.如图 2，若c b a，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC120，BC 4，求ABC的面积.19我国古代数学家赵爽曾用图1 证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图 2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1 解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求ab的值.220（知识背景）据我国古代周髀算经记载，公元前1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是 4，那么弦就等于 5，后人概括为“勾三、股四、弦五”像 3、4、5 这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数（应用举例）观察 3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3 起就没有间断过，并且勾为 3 时，股4 11(91)，弦5(91)；2211(251)，弦13(251)；22勾为 5 时，股12 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为 7，则股 24弦 25（2）如果勾用n（n3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股，弦（解决问题）观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a 2m（m表示大于 1 的整数），则b，c，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、37【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题一、解答题1（1）2，2 3（2）证明见解析（3）【分析】（1）根据含有 30角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED为AB垂直平分线可得 DB=DA，在 RtBDE 中，由勾股定理可得 BD=4，可得BD=2BE，故BDE 为 60，即可证明ABD是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC=2 3，AD=4，进而可求得 CD 的长，再由等积法可得2 212 32 21（4）或373S四边形ACBD SBCD SACD，代入求解即可；（4）分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况，过点E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，构造 RtPQE，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）RtABC，ACB90，BAC 30，斜边AB 4，1AB 2，AC AB2BC2=2 3；2（2）ED为AB垂直平分线，ADB=DA，在 RtBDE 中，1BE AE AB 2，DE 2 3，2BC BD BE2 DE2=4，BD=2BE，BDE 为 60，ABD为等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC=2 3，AD=4，CDAC2 AD2=2 7，BCDS四边形ACBD S SACD，111(BC AD)AC AC ADBF CD，2222 21；7BF（4）分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况，如图，过点 E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，AE=2，BAC=30，EQ=1，AC=2 3，CQ QA=3，若点 P 在线段 AC 上，则PQ CQ CP=3 PE 23，3 33PQ2 EQ2=2 3；325 3，3 33若点 P 在线段 AC 的延长线上，则PQ CQ CP=3 PE PQ2 EQ2=2 21；3综上，PE 的长为【点睛】2 32 21.或33本题考查勾股定理及其应用、含30的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出 BF 的长，二是对点 P 的位置要分情况进行讨论.2（1）详见解析；（2）四边形 AGBE 是平行四边形，证明详见解析；）2k 2 k2k 1.3k 3【解析】【分析】（1）只要证明BAEACD；