八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题学能测试试卷

八年级初二数学下学期勾股定理单元八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题学能测试试卷易错题难题学能测试试卷一、解答题一、解答题1已知ABC中，AB AC.（1）如图 1，在ADE中，AD AE，连接BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE（2）如图 2，在ADE中，AD AE，连接BE、CE，若DAE BAC 60，CE AD于点F，AE4，EC 5，求BE的长；（3）如图 3，在BCD中，CBD CDB 45，连接AD，若CAB 45，求AD的值.AB2如图，在等腰直角三角形ABC 中，ACB=90，AC=BC，AD 平分BAC，BDAD 于点D，E 是 AB 的中点，连接 CE 交 AD 于点 F，BD=3，求 BF 的长3如图，ABC 和 ADE 都是等腰三角形，其中 ABAC，ADAE，且 BAC DAE（1）如图，连接 BE、CD，求证：BECD；（2）如图，连接 BE、CD，若 BAC DAE60，CDAE，AD3，CD4，求 BD 的长；（3）如图，若 BAC DAE90，且 C 点恰好落在 DE 上，试探究 CD2、CE2和 BC2之间的数量关系，并加以说明4定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形（1）如图 1，四边形 ABCD 中，ABC=70，BAC=40，ACD=ADC=80，求证：四边形 ABCD 是邻和四边形（2）如图 2，是由 50 个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点，使得以 A、B、C、D 为顶点D的四边形为邻和四边形（3）如图 3，ABC 中，ABC=90，AB=2，BC=23，若存在一点 D，使四边形 ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积5定义：如图 1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有 1 个，即点O（1）“距离坐标”为1，0的点有个；（2）如图 2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为p，q，且BOD 150，请写出p、q的关系式并证明；（3）如图 3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且DOB 30，求OM的长6如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC90，D 为 AC 边上一动点，且不与点A 点 C 重合，连接 BD 并延长，在 BD 延长线上取一点 E，使 AEAB，连接 CE（1）若AED20，则DEC度；（2）若AEDa，试探索AED 与AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图 2，过点 A 作 AFBE 于点 F，AF 的延长线与 EC 的延长线交于点 H，求证：EH2+CH22AE27在等腰ABC 与等腰ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点 D、E、C 三点在同一条直线上，连接 BD（1）如图 1，求证：ADBAEC（2）如图 2，当BACDAE90时，试猜想线段 AD，BD，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当BACDAE120时，请直接写出线段AD，BD，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）8如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：22，CD36，求线段 AB的长9如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC3cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0）（1）若点 P 在 AC 上，且满足 PAPB 时，求出此时 t 的值；（2）若点 P 恰好在BAC 的角平分线上，求 t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，BCP 为等腰三角形10在等边ABC中，点D是线段BC的中点，EDF 120,DE与线段AB相交于点E,DF与射线AC相交于点F1如图 1，若DF AC，垂足为F,AB 4,求BE的长；2如图 2，将1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE CF 1AB23如图 3，将2中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F,作DN AC于点N，若DN FN,设BE x,CF y，写出y关于x的函数关系式11如图 1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系（2）把图 1 中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图 2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由（3）把图 1 中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，连接CE，如图 3，其他条件不变，若DG2，AB6，直接写出CM的长度12（1）如图 1，在 RtABC 和 RtADE 中，ABAC，ADAE，且点 D 在 BC 边上滑动（点 D 不与点 B，C 重合），连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为；求证：BD2+CD22AD2；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABCACBADC45若 BD9，CD3，求 AD的长13如图 1，ABC 中，CDAB 于 D，且 BD:AD:CD2:3:4，（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）已知 SABC40cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿线段 BA 向点 A运动，同时动点 N 从点 A 出发以每秒 1cm 速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 M 运动的时间为 t（秒），若DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值；若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由图 1图 2备用图14（1）如图 1，在RtABC中，ACB90，A 60，CD平分ACB.求证：CA AD BC.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC关于直线CD的对称图形ADC，CD平分ACB，A点落在CB上，且CACA，AD AD.因此，要证的问题转化为只要证出AD AB即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC CD10，AC 17，AD9，求AB的长.15定义：在ABC 中，若 BCa，ACb，ABc，若 a，b，c 满足 ac+a2b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图 1，若等腰三角形 ABC 是“类勾股三角形”，其中 ABBC，ACAB，请求A 的度数；（3）如图 2，在ABC 中，B2A，且CA当A32时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2 中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；请证明ABC 为“类勾股三角形”16定义：如图 1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM 2，MN 3，求BN的长；（2）如图 2，在RtABC中，AC BC，点M、N在斜边AB上，MCN 45，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点（提示：把ACM绕点C逆时针旋转90）；（3）在（2）的问题中，ACM 15，AM 1，求BM的长17我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图 1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2 BO2的值，可记为ABAC OA2 BO2（1）在ABC中，若ACB90，ABAC 81，求AC的值（2）如图 2，在ABC中，AB AC 12，BAC120，求ABAC，BABC的值（3）如图 3，在ABC中，AO是BC边上的中线，SABC 24，AC 8，ABAC 64，求BC和AB的长18如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，AC b，BC a，如图 1，若ACB90，b a，b 6，求a的值.如图 2，若c b a，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC120，BC 4，求ABC的面积.19（知识背景）据我国古代周髀算经记载，公元前1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是 4，那么弦就等于 5，后人概括为“勾三、股四、弦五”像 3、4、5 这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数（应用举例）观察 3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3 起就没有间断过，并且勾为 3 时，股4 11(91)，弦5(91)；2211(251)，弦13(251)；22勾为 5 时，股12 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为 7，则股 24弦 25（2）如果勾用n（n3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股，弦（解决问题）观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a 2m（m表示大于 1 的整数），则b，c，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、3720已知ABC是等边三角形，点 D 是 BC 边上一动点，连结 AD1如图 1，若BD 2，DC 4，求 AD 的长；2如图 2，以 AD 为边作ADE ADF 60，分别交 AB，AC 于点 E，F小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法 1：利用 AD 是EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证想法 2：利用 AD 是EDF的角平分线，构造ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证请你参考上面的想法，帮助小明证明AE AF.(一种方法即可)小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与 AD 长存在很好的关系.若用 S 表示四边形 AEDF 的面积，x 表示 AD 的长，请你直接写出S 与 x 之间的关系式【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题一、解答题1（1）详见解析；（2）41；（3）3.【分析】（1）证EAC=DAB.利用 SAS 证ACEABD 可得；（2）连接 BD，证FEA 1AED 30，证ACEABD 可得FEA BDA 30,CE=BD=5，利用勾2股定理求解；（3）作 CE 垂直于 AC,且 CE=AC,连接 AE,则ACE 90,CAE 45，利用勾股定理得 AE2AB，BE=3AB，根据（1）思路得 AD=BE=3AB.【详解】(1)证明：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，即EAC=DAB.在ACE 与ABD 中，AD AEEAC BAB，AC ABACEABD(SAS)，BDCE；(2)连接 BD因为AD AE，DAE BAC