资源描述
2019届内蒙古鄂尔多斯市高三年级质量普查调研考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合，，若，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．4
2．设命题，，则为
A．， B．， C．， D．，
3．在中，若，，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为
A．2 B． C． D．
5．设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
6．已知，则
A． B． C． D．
7．函数的零点所在的大致区间是
A． B． C． D．
8．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当时，，则的值为
A． B． C． D．
9．设当时，函数取得最大值，则
A． B． C． D．
10．已知函数，，，的图象（部分）如图所示，则，分别为
A． B． C． D．
11．设函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
12．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13． ．
14．函数的递减区间为 ．
15．已知幂函数满足，则的解析式为 ．
16．设函数的定义域为，若存在常数使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①；
②；
③；
④是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有．
其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知，函数，的内角，，所对的边长分别为，，．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的值．
18．（12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
19．（12分）
如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长
（2）若，求的值．
20．（12分）
设函数，曲线过，且在处的切线斜率为2．
（1）求，的值；
（2）证明：．
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．
2019届内蒙古鄂尔多斯市高三年级质量普查调研考试
理科数学
参考答案及评分标准
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合，，若，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】，，，，，故选：．
【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．
2．设命题，，则为
A．， B．， C．， D．，
【解析】由命题，，得，，故选：．
【点评】本题考查全程命题的否定，是基础题．
3．在中，若，，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】在中，若，，，，
可得：，解得或（舍去）．故选：．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为
A．2 B． C． D．
【解析】连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，
故选：．
【点评】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．
5．设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
【解析】．函数的周期为，当时，周期，故正确，
．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确，
当时，，则的一个零点为，故正确，
．当时，，此时函数不是单调函数，故错误，故选：．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
6．已知，则
A． B． C． D．
【解析】，则，．
故选：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．函数的零点所在的大致区间是
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，，，，
显然满足，故函数的零点所在的区间为，故选：．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，涉及对数值得运算和大小比较，属基础题．
8．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当时，，则的值为
A． B． C． D．
【解析】的最小正周期是，，函数是偶函数，
．故选：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析式求函数值，是基础题，应熟练掌握．
9．设当时，函数取得最大值，则
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，．再结合，求得，，
故选：．
【点评】本题主要考查辅助角公式，三角函数的最值条件，属于中档题．
10．已知函数，，，的图象（部分）如图所示，则，分别为
A． B． C． D．
【解析】由函数的图象可得，根据，求得．
再由五点法作图可得，解得，故选：．
【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．
11．设函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【解析】，当不等式，即：，
如果，则，可得，可得．
如果，有，可得或 ．
综上不等式的解集：．故选：．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．
12．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【解析】令，则方程有两个根或，当时，，
当时，，当时，在上单调递减，在单调递增；作出函数的草图如图：关于的方程恰好有4个不相等的实数根，转化为有一个，有3个，则且，．故选：．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13． ．
【解析】；故答案为：；
【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．
14．函数的递减区间为 ．
【解析】令，求得，或，可得函数的定义域为，或，且，故本题即求函数在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，故答案为：．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15．已知幂函数满足，则的解析式为 ．
【解析】（1）由，可得幂函数，为增函数，
则，解得：，又，或，则；
故答案为：．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了幂函数的单调性．
16．设函数的定义域为，若存在常数使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①；
②；
③；
④是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有．
其中是“条件约束函数”的序号是 ①③④ （写出符合条件的全部序号）．
【解析】对于①，，易知存在，使对一切实数均成立，符合题意；是“条件约束函数”．
对于②用函数的定义不难发现：因为时，，所以不存在常数，使对一切实数均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．
对于③，因为，所以存在常数，使对一切实数均成立，③是“条件约束函数”．
对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意．是“条件约束函数”．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数与的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知，函数，的内角，，所对的边长分别为，，．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的值．
【解析】，函数，
，
（1）由，结合，，为三角形内角得而．由正弦定理得，所以．
（2）由时，，，
．
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
【解析】（1）
，．
所以函数的最小正周期为（4分）
令，解得：，
对称轴方程为：（6分）
（2）将函数的图象向左平移个单位，
所得图象的解析式为：，
再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到：，
令：，所以：，
又，所以在上的单调递减区间为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
19．（12分）如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长
（2）若，求的值．
【解析】（1），（1分）
在中，由余弦定理得，（2分）
，，（4分）．（5分）
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