资源描述
专题03 整式的加减
【专题目录】
技巧1：求代数式值的技巧
技巧2：整式加减在几何中的应用
技巧3：整体思想在整式加减中的应用
【题型】一、代数式求值
【题型】二、同类项
【题型】三、整式的加减
【题型】四、化简求值
【题型】五、图形类规律探索
【考纲要求】
1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．
3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【考点总结】一、整式
整
式
的
相
关
概
念
单项式
由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式系数是，次数是4。
多项式
几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
如：多项式2+4x2y﹣是五次三项式
整式
整式是单项式与多项式的统称。
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
【考点总结】二、整式的加减运算
整式
加减
① 整式的加减其实就是合并同类项；
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
【注意】
1、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
2、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
【技巧归纳】
技巧1：求代数式值的技巧
【类型】一、直接代入求值
1．当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，
(1)求a2＋2ab＋b2，(a＋b)2的值；
(2)从中你发现了怎样的规律？
【类型】二、先化简再代入求值
2．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2(B－C)]的值，其中x＝－1.
【类型】三、特征条件代入求值
3．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．
【类型】四、整体代入求值
4．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．
5．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？
【类型】五、整体加减求值
6．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．
7．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：
(1)m2－n2；
(2)m2－2mn＋n2.
【类型】六、取特殊值代入求值( )
8．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．
技巧2：整式加减在几何中的应用
【类型】一、利用整式加减求周长
1．已知三角形的第一条边长是a＋2b，第二条边长比第一条边长大b－2，第三条边长比第二条边长小5.
(1)求三角形的周长；
(2)当a＝2，b＝3时，求三角形的周长．
【类型】二、利用整式加减求面积
2．如图是一个工件的横截面及其尺寸(单位：cm)．
(1)用含a，b的式子表示它的面积S；
(2)当a＝15，b＝8时，求S的值(π≈3.14，结果精确到0.01)．
【类型】三、利用整式加减解决计数问题
3．按如图所示的规律摆放三角形：
(1)第4个图形中三角形的个数为________；
(2)求第n个图形中三角形的个数．
技巧3：整体思想在整式加减中的应用
【类型】一、应用整体思想合并同类项
1．化简：4(x＋y＋z)－3(x－y－z)＋2(x－y－z)－7(x＋y＋z)－(x－y－z)．
【类型】二、应用整体思想去括号
2．计算：3x2y－[2x2z－(2xyz－x2z＋4x2y)]．
【类型】三、直接整体代入
3．若x＋y＝－1，xy＝－2，则x－xy＋y的值是________．
4．已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.
(1)化简：3A－2B＋2；
(2)当a＝－时，求3A－2B＋2的值．
【类型】四、变形后再整体代入
5．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
6．已知a＋b＝7，ab＝10，则代数式(5ab＋4a＋7b)－(4ab－3a)的值为________．
7．已知14x＋5－21x2＝－2，求代数式6x2－4x＋5的值．
【类型】五、特殊值法代入(特殊值法)
8．已知(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；
(2)a0－a1＋a2－a3＋a4的值；
(3)a0＋a2＋a4的值．
【题型讲解】
【题型】一、代数式求值
例1、若，，则的值等于（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【题型】二、同类项
例2、已知与是同类项，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型】三、整式的加减
例3、已知，那么_____________．
【题型】四、化简求值
例4、如果多项式与多项式（其中，，是常数）相等，则 ， ， ．
【题型】五、图形类规律探索
例5、把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
整式的加减（达标训练）
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）关于x单项式的次数是（ ）．
A．6 B．5 C．3 D．2
2．（2022·重庆大渡口·二模）下列各式中，不是整式的是（ ）
A． B．x－y C． D．4x
3．（2022·广西柳州·模拟预测）用代数式表示：的3倍与5的差．下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）若，，则的值为（ ）．
A．15 B． C．5 D．3
5．（2022·北京海淀·二模）已知m = 2，则代数式2m-1 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
二、填空题
6．（2021·贵州铜仁·三模）多项式的次数为________．
7．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a千克，应找回__________元．
三、解答题
8．（2022·河北保定·一模）图①、图②是某月的月历
(1)图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．
(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，（1）中的关系还成立吗？若成立，说明理由．
(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90，乙同学说，所求的9个数之和也可以是290，甲、乙的说法对吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．
9．（2022·北京北京·二模）已知，求代数式的值．
整式的加减（提升测评）
一、单选题
1．（2022·贵州六盘水·模拟预测）已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．12
2．（2022·重庆·西南大学附中三模）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆八中二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2022·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．的项是，2 B．是二次三项式
C．与是同类项 D．单项式的系数是
二、填空题
6．（2022·浙江宁波·一模）已知，则的值为___________.
7．（2022·甘肃嘉峪关·三模）按一定规律排列的单项式：﹣a2，4a3，﹣9a4，16a5，﹣25a6，…，第n个单项式是 _____．
三、解答题
8．（2020·浙江·模拟预测）化简：
（1） （2）
9．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【技巧归纳】
技巧1：求代数式值的技巧
【类型】一、直接代入求值
1．当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，
(1)求a2＋2ab＋b2，(a＋b)2的值；
(2)从中你发现了怎样的规律？
【类型】二、先化简再代入求值
2．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2(B－C)]的值，其中x＝－1.
【类型】三、特征条件代入求值
3．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．
【类型】四、整体代入求值
4．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．
5．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？
【类型】五、整体加减求值
6．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．
7．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：
(1)m2－n2；
(2)m2－2mn＋n2.
【类型】六、取特殊值代入求值( )
8．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．
参考答案
1．解：(1)当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a＋b)2＝(3＋2)2＝25；
当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；
当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a＋b)2＝(4－3)2＝1.
(2)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
2．解：原式＝A－2A＋2B＋4(B－
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