7数值分析试题与答案

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！试题 _2009_年_2010_年第 一学期 课程名称：数值分析 专业年级：2009 级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型：A 卷 B 卷 考试方式:开卷 闭卷 一.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.设有节点012,xx x，其对应的函数 yf x的值分别为012,yy y，则二次拉格朗日插值基函数0()l x为 。2.设 2f xx，则 f x关于 节 点0120,1,3xxx的 二阶向 前差分为 。3.设110111011A，233x ，则1A ，1x 。4.1n个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2.什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x的不动点？3.设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足123n，请简单说明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于 3 的多项式 3P x，满足下列插值条件：ix 1 2 3 iy 2 4 12 iy 3 并估计误差。（10 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！四试用1,2,4n 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011Idxx。（10 分）五用 Newton 法求()cos0f xxx的近似解。（10 分）六试用 Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630 xxx（10 分）七请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530 xxxxxxxxx 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10 分）八就初值问题0(0)yyyy 考察欧拉显式格式的收敛性。（10 分）数值分析（A）卷标准答案 （200920101）一 填空题（每小题 3 分，共 12 分）1.1200102()()()()xxxxlxxxxx；2.7；3.3，8；4.2n+1。二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4 分）对于对称正定阵 A，从21iiiikkal可知对任意k i 有|ikiila。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4 分）2.解：（1）若*xx，则称*x为函数 x的不动点。（2 分）（2）x必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x的不动点：1）x是在其定义域内是连续函数；（2 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2）x的值域是定义域的子集；（2 分）3）x在其定义域内满足李普希兹条件。（2 分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8 分）步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步 3：计算 vk=Auk-1;步 4：计算 并置 mk:=vkr,uk:=vk/mk;步 5：若|mk-|，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；步 6：若 kN,置 k:=k+1,:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三 解：（1）利用插值法加待定系数法：设 2px满足 22212,24,312,ppp则 22376,pxxx（3 分）再设 32123pxpxK xxx （3 分）2K （1 分）32329156pxxxx （1 分）（2）24311234!Rxfxxx （2 分）四解：应用梯形公式得 11012IIff （2 分）0.75 （1 分）应用辛普森公式得：21104162IIfff （2 分）0.69444444 （1 分）应用科特斯公式得：41113703212327190424IIfffff （2 分）0.6931746 （2 分）五解：由零点定理，cos0 xx在(0,)2内有根。（2 分）由牛顿迭代格式1cos0,1,.1 sinnnnnnxxxxnx （4 分）取04x得，1max;kkrii nvv 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx （3 分）故取*40.739085133xx （1 分）六解：对系数矩阵做三角分解：11121321222331323325610041319106361uuuluullu （2 分）125621373414ALU （4 分）若Lyb，则12310,1,4yyy；（2 分）若Uxy，则(3,2,1)Tx。（2 分）七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 00.50.51010.50.50B （2 分）其特征多项式为2det()1.25IB，且特征值为 1230,1.25,1.25ii （2 分）故有 1.251B，因而雅可比迭代法不收敛。（1 分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B （2 分）其特征值为1230,0.5 （2 分）故有 0.51B，因而雅可比迭代法收敛。（1 分）八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1.证：该问题的精确解为0()xy xy e （2 分）欧拉公式为1(1)iiiiyyhyh y （2 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！对任意固定的ixxih，有/1/00(1)(1)iix hxhiyyhyh，（2 分）则0()ixiy ey x （1 分）2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66nnnxaxnx （3 分）因迭代函数为 25,66xaxx而 35,63axx又*3xa，（2 分）则 333510623aaa。故此迭代格式是线性收敛的。（2 分）数值分析参考解答 三计算题（每小题 7 分，共 42 分）：1.设 xexf)(,试构造基函数求)(xf的 2 次插值多项式)(2xP,满足:)1()1(),0()0(),0()0(222fPfPfP.解 设)(2xP的基函数为)(),(),(010 xxx，则它们满足下列关系 （1 分）x 0 1 x 0)(2xP 1 e)(2xP 1)(0 x1 0)(0 x 0)(1x 0 1)(1x 0)(0 x0 0)(0 x 1（2 分）(1)令00200)(cxbxax，则有0)0(0)1(1)0(00000000bcbac,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！即1,0,1000cba.所以1)(20 xx.或由0)1(0，先得)(1()(0lkxxx.再由1)0(0，得1l，即1l.由1)0(0，得0 kl，即1 lk.所以1)1)(1()(20 xxxx.（1 分）(2)令11211)(cxbxax，则有0)0(1)1(0)0(11111111bcbac,即0,0,1111cba.所以21)(xx.或由0)0()0(11,先得21)(kxx.再由1)1(1，得1k.所以21)(xx.（1 分）(3)令22220)(cxbxax，则有1)0(0)1(0)0(20222020bcbac，即 0,1,1222cba.所以xxx20)(或由0)1()0(00,先得)1()(0 xkxx.再由1)0(0，得1k，即1k.所以xxxxx20)1()(（1 分）最后得 1)2()()0()()1()()0()(20102xxexfxfxfxP.（1 分）2.求 xxxxf2323)(在区间-1,1 上的次最佳一致逼近多项式;解 设所求的 2 次最佳一致逼近多项式为)(*2xP.令)()(31)(*2xPxfxQ.（2 分）则)(xQ的首项系数为 1,并且当)(21)()(31)(32*2xTxPxfxQ时,)(xQ与0的偏差最小,即)(xf与)(*2xP的偏差最小.（2 分）因为 1,1上的 3 次切比雪夫 Chebyshev 多项式为xxxT34)(33.（1 分）所以xxxxxxxxTxfxP4132)493(23)(43)()(23233*2.（2 分）3利用龙贝格公式计算定积分(计算到1R即可)：71.2dxx 解 7,1,2)(xxxf，16)7()1(2)1(71ffT,（1 分）94428.16548)3(282112fTT,22774.17)73(247214.8)5()1(242124ffTT,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！)6()4()2()0(222148ffffTT 30599.17862261387.8,（2 分）25904.173134121TTS,32223.173134242TTS,33207.173134484TTS,（2 分）32644.171511516121SSC,33273.171511516242SSC,33283.176316364121CCR.(2 分)4利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长2.0h计算）解 令xyyxf),(，则改进的尤拉公式为：),(,(),(21nnnnnnnnyxhfyhxfyxfhyy （2 分）22)2(2)2(12hxhhyhhnn.（2 分)取2.0h得，02.022.022.11nnnxyy.（1 分)计算结果如下：x y 1 1 1.2 1.46 1.4 2.0652 1.6 2.84754 （2 分)5用牛顿法求方程 023)(3xxxf 在 30 x 附近的根（只要求迭代步）。解 牛顿迭代公式为：)()(1nnnnxfxfxx （2 分)1(322nnnnxxxx.（2 分)取迭代初值为30 x，则迭代结果如下表所示：.1)1()6.11(yxxyy T S C R n=1 16 17.25904 17.32644 17.33283 n=2 16.94428 17.32223 17.33273 n=4 17.22774 17.33207 n=8 17.30599 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（3 分）6写出解如下线性方程组的高斯塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯塞德尔迭代公式？.123,0322121xxxx 解 2332A,2002D,0030L,0300U,10b.（1 分）则 112020132324DL,（1 分）得 12003061132000944GDLU,（1 分）1200011321244fDLb ,（1 分）1600419024kkkXGXfX 为高斯-塞德尔迭代公式.（1 分）这时G的 2 个特征值为129,04,故 1G，迭代法不收敛.（1 分）若原方程 1212230321xxxx改写成为 1212321230 xxxx,这时3223A是严格对角 优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.（1 分）四证明题(每小题 9 分,共 18 分)：1.证明本试卷第三大题（即计算题）第小题的插值余项：)1(6)()()(222xxexPxfxR)10(,并有误差估计.81|)(|2xR 证：方法一：因为 22()Rxf xP x，则0,1是 2Rx的零点且0为二重的,(1 分)于是可设 22()1Rxk xxx，令 22()()()()(1),0,1tf tP tk x t tt(2 分)n nx 0 3 1 2.33333 2 2.05555 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文