资源描述
22.2 二次函数与系数的关系
一、选择题
1. 对于抛物线y=ax2+(2a−1)x+a−3，当x=1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若无论x取何值，代数式(x+1−3m)(x−m)的值恒为非负数，则m的值为( )
A. 0 B. 12 C. 13 D. 1
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①4a+2b+c>0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x10)经过第四象限的点(1,−1)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A. 有两个大于1的不相等实数根
B. 有两个小于1的不相等实数根
C. 有一个大于1另一个小于1的实数根
D. 没有实数根
5. 如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(−2,0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：
①2b−c=2；②a=12；③ac=b−1；④a+bc>0
其中正确的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)部分大致图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴一个交点为(3,0)，结合图象，下列说法错误的是( )
A. abc>0
B. 2a+b=0
C. a+c>0
D. 一元二次方方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数解
7. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc>0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根；⑤ac−b+1>0.其中正确结论的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
8. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=−1.5，与x轴的一个交点在(−4,0)和(−3,0)之间，有以下结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③3a−b=0；④4b+3c<0.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
①ac>0；②a−b+c<0；③当x<0时，y<0；
④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于−1的实数根．
其中错误的结论有( )．
A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=1，结合图象，下列结论：
①ac<0；
②4a−2b+c>0；
③当x>2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有( )
A. ①④
B. ③④
C. ①②④
D. ①③④
11. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①b2−4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a−2b+c>0．
其中正确结论的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+(b+2)x+3−t=0(t为实数)在−10；②b2−4ac>0；③4a+b=1；④不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为10；②b2−4ac>0；③x=−1是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根；④a+b=0.其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
15. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论错误的有( )个．
(1)a<0，b<0，c>0；(2)−b2b=1；(3)a+b+c<0；(4)关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大：④若m，n(m2：⑤b2−4ac4a<0，其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
17. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc>0；
②b2<4ac；
③2c<3b；
④a+b>m(am+b)(m≠1)；
⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
18. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②a+12b+14c=0；③ac−b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
19. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，下列说法：①abc>0；②2a+b=0；③9a+3b+c=0；④当−1≤x≤3时，y<0；⑤若点A(x1,y1)和B(x2,y2)在图象上，当x10，②4a+2b+c<0，③2a−b<0，④b2+8a>4ac，⑤a<−1，其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案和解析
1.C
解：把x=1，y>0代入解析式可得：a+2a−1+a−3>0，
解得：a>1，
所以可得：−b2a=−2a−12a<0，4ac−b24a=4a(a−3)−(2a−1)24a=−8a−14a<0，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
把x=1代入解析式，根据y>0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．
2.B
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题、涉及多项式乘多项式、二次函数与一元二次方程、根的判别式、解不等式等，解答该题的关键是熟悉二次函数图象的性质．
解答此题首先根据多项式乘多项式化成二次函数的一般式，然后根据题意和二次函数图象的性质，得出Δ≤0，最后根据根的判别式列出关于m的不等式，即可求出m的值．
解：原式=x2−mx+x−m−3mx+3m2=x2+(1−4m)x−m+3m2，
∵代数式(x+1−3m)(x−m)的值恒为非负数，
∴二次函数y=x2+(1−4m)x−m+3m2的图像开口向上且与x轴最多只有一个交点，即Δ≤0，
∴Δ=b2−4ac=(1−4m)2−4×1×(−m+3m2)=1−8m+16m2+4m−12m2=4m2−4m+1=(2m−1)2≤0，
解得，m=12，
故选B．
3.B
解：∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，
∴−b2a=−2，4ac−b24a=−9a，
∴b=4a，c=−5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，
∴4a+2b+c=4a+8a−5a=7a>0，故①正确，
5a−b+c=5a−4a−5a=−4a<0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x10)经过第四象限的点(1,−1)，
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
5.C
解：据图象可知a>0，c<0，b>0，
∴a+bc<0，故④错误；
∵OB=OC，
∴OB=−c，
∴点B坐标为(−c,0)，
∴ac2−bc+c=0，
∴ac−b+1=0，
∴ac=b−1，故③正确；
∵A(−2,0)，B(−c,0)，抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)和B(−c,0)两点，
∴2c=ca，
∴2=1a，
∴a=12，故②正确；
∵ac−b+1=0，
∴b=ac+1，a=12，
∴b=12c+1
∴2b−c=2，故①正确；
故选：C．
根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
6.C
解：由图象可知：a>0，c<0，
∵−b2a>0，
∴b<0，
∴abc>0，故A正确；
由对称轴可知：−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故B正确；
∵(3,0)关于直线x=1的对称点坐标为(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴3a+c=0，
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