资源描述
22.1.4二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
一、单选题
1．已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．或2
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＜0
3．已知二次函数，当时，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平多1个单位
5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（ ）
A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧
C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧
6．已知二次函数，其中，当时，y的最大值与最小值的差为16，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线、关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线向右平移2.5个单位
B．将抛物线向右平移3个单位
C．将抛物线向右平移4个单位
D．将抛物线向右平移5个单位
10．已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后图象的函数表达式为___________．
12．二次函数的顶点坐标为______．
13．已知二次函数若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数n的取值范围为__________．
14．已知函数的部分图像如图所示，那么当x________时，y随x的增大而增大．
15．在平面直角坐标系中，，，若抛物线经过点且与线段有两个不同的交点，则的取值范围是_________．
三、解答题
16．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
17．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6．
（1）求a的值；
（2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？
（3）点在这个二次函数的图象上吗？
20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求花圃面积的最大值．
4
答案
1．C
解：如图：
二次函数的图像开口向上
当时，函数的最小值为
当时，函数取得最小值
将，代入，得：
解得：
当时，函数的最小值为，
开口向上
时，，代入，得：
故选C
2．B
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．故A错误；
∵x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，故B正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故C错误；
当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故D错误；
故选：B．
3．C
解：∵
∴该函数的对称轴是直线x=3，函数图象开口向上，
当x=3时取得最小值-1，
又∵时，
当x=0时，y=8，当x=6时，y=8，
∴m=6
故答案选：C．
4．C
解：函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选C
5．D
解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，
0＝﹣1﹣b+c，
即b＝c﹣1，
又∵对称轴x（c﹣1），
当c＞0时，对称轴x（c﹣1），无法判断正负；
当c＜0时，对称轴x（c﹣1），
故对称轴在y轴的左侧，
故选：D．
6．C
解：，
∵m＜0，
∴2m＜0，
∴开口向下，
∴对称轴为直线x=，
∵0≤x≤3，
∴当x=1时取最大值，为y=2m-4m+m=-m，
又∵1-0=1，3-1=2，
∴3到对称轴的距离较远，
∴当x=3时，取到最小值y=18m-12m+m=7m，
∴-m-7m=16，
∴m=-2，
故选C．
7．C
解：①根据函数图象的开口向下知，，
∵抛物线与x轴交点一个在（-2,0）和（-1,0）之间，另一个在（0,0）和（1,0）之间，可得抛物线的对称轴在的右边，在轴左边，
，
，
∵抛物线与轴交于正半轴，
，
．
故①正确；
②∵抛物线的对称轴在的右边，，
，
，
，
，
，
故②错误；
③由函数图象可知，当时，，
即，
故③正确；
④由函数图象可知，当时，，即，当时，，即，
，故④正确；
故选：C．
8．C
解：函数开口向下，a＜0；
函数的对称轴在y轴的右边，则ab异号，即b＞0；
函数交于y轴的正半轴，则c＞0，故，①错误；
当y=0时，函数与x轴有两个不同的交点，即此时一元二次方程有两个不同的实数根，即，故②正确；
函数的对称轴为直线x=1，则-2a=b，函数解析式为：，当x=-2时，，观察图象可知当x=-2时，对应的y值小于0，故②正确；
观察图象得：当x=2时，y=4a+2b+c＞0；当x=-1时，y=a-b+c＞0，则4a+2b+c+a-b+c=5a+b+2c＞0，故④正确；
观察图象得：函数值y＞0时，函数应该在x轴上方，而函数在x轴上方时对应的x的取值范围为函数与x轴交点坐标的横坐标的范围，故⑤错误.
综上①⑤错误，②③④正确，故选：C.
9．D
解：
抛物线对称轴为．
抛物线与轴的交点为．
则与点以对称轴对称的点是．
若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后以对称轴与点对称．
则点平移后坐标应为．
因此将抛物线向右平移5个单位．
故选：D．
10．C
解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
，
解得：，
，
当时，函数的最小值为，最大值为1，
当时，；
时，，
解得：，
，
故选：C．
11．y=（x-3）2+4
解：二次函数y=（x-1）2+1的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为：y=（x-1-2）2+1+3，即y=（x-3）2+4．
故答案是：y=（x-3）2+4．
12．
解：，
∴顶点坐标为（1，−2），
故（1，−2）．
13．
解：∵，是二次函数图象上的两点，且，
∴，
解得，
故．
14．＜1
解：根据图象得：
函数图像开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故＜1．
15．或
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴；
∴，
∴抛物线的对称轴为；
设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b，
∵点，点，
∴ ，
解得，
∴
抛物线（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
①当a＜0时， ，
∴，
解得，，
∴当时满足抛物线（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴ ；
②当a＞0时， ，
∴，
解得，，
∴当时满足抛物线（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴；
综上所述：或．
故或．
16．（1）；（2）或．
解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
17．（1）；（2）6．
解：设点，直线的解析式为，
将、分别代入，
得，，
故，
的面积
，
再把代入，得，
所以，
把代入到中得：；
（2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点，
则平移后的抛物线为，
把代入得，
向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点．
18．（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
19．（1）；（2）当时，y的值随值的增大而增大；（3）点P（3，5）不在这个二次函数的图象上
解：(1)设抛物线解析式为，
把(0，4)代入得，
解得：，
所以这个二次函数解析式为；
(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
所以当时，y的值随值的增大而增大；
(3)当时，，
所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．
20．（1）与的函数关系式为，自变量的取值范围为；（2）花圃面积的最大值为45平方米．
解：（1）由题意得：米，且
即
解得
故与的函数关系式为，自变量的取值范围为；
（2）由（1）知，
由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小
则当时，S取最大值，最大值为（平方米）
故花圃面积的最大值为45平方米．
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