吉林省白城市通榆县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年吉林省白城市通榆县九年级（上）期中数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 若关于x的方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是(    ) A. 4 B. -4 C. 16 D. -16 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=70°，则∠C的度数为(    ) A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 4. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠C的度数为(    ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 已知函数y=ax2+bx+3的图象如图所示，则a，b的值可能是(    ) A. a=1，b=2 B. a=1，b=-2 C. a=-1，b=2 D. a=-1，b=-2 6. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为(    ) A. x(x+1)=45 B. x(x+1)2=45 C. x(x-1)=45 D. x(x-1)2=45 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 7. 一元二次方程x2-1=0的根______ ． 8. 点M(1,-2)关于原点对称点的坐标是______． 9. 若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为______． 10. 抛物线y=2(x+2)2的顶点坐标是______． 11. 如图，在⊙O中，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，若OA=3，OC=5，则OB的长度可能为______(写出一个即可)． 12. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠α=______°. 13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB.已知AB为2米，则线段BE的长为______米． 14. 如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB=3，BC=4，则DF的长为______． 三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. (本小题5.0分) 解方程：x2-4x-8=0． 16. (本小题5.0分) 已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围． 17. (本小题5.0分) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结BD、CE.求证：BD=CE． 18. (本小题5.0分) 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间． 19. (本小题7.0分) 图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图． (1)在图①中，找一个格点C，使以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形． (2)在图②中，找两个格点D，E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是中心对称图形． 20. (本小题7.0分) 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°． (1)求∠DAB的大小． (2)若AD=6，则圆心O到BD的距离为______． 21. (本小题7.0分) 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m.连接OB． (1)直接判断AD与BD的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1m)． 22. (本小题7.0分) 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． (1)求抛物线的解析式； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 23. (本小题8.0分) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长BA交⊙O于点F． (1)求证：DE是⊙O的切线． (2)若DE=2，AF=3，直接写出AE的长． 24. (本小题8.0分) 阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况． 下面根据抛物线的顶点坐标(-b2a,4ac-b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析： (1)a>0时，抛物线开口向上． ①当Δ=b2-4ac>0时，有4ac-b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac-b24a<0． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)． ②当Δ=b2-4ac=0时，有4ac-b2=0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac-b24a=0． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)． ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根． ③当Δ=b2-4ac<0时， …… (2)a<0时，抛物线开口向下． …… 任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可)； A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.转化思想 (2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______． 25. (本小题10.0分) (1)如图①，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在线段BO的延长线上，连接AD、BC.线段AD与BC的数量关系为______； (2)如图②，将图①中的△COD绕点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；若不成立，说明理由． (3)如图③，若AB=5，点C是线段AB外一动点，AC=3，连接BC，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，解答下列问题． ①当点C落在线段AD上时，AD的长为______； ②直接写出AD长度的最大值和最小值． 26. (本小题10.0分) 已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)经过点(0,-3)、(-6,-3)． (1)求此抛物线的解析式． (2)此抛物线的顶点坐标为______； (3)当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值． (4)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2.【答案】A  【解析】解：Δ=b2-4ac=42-4×1×c=16-4c ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0， ∴16-4c=0， 解得c=4． 故选：A． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于c的方程，求解方程即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(Δ=b2-4ac)判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 3.【答案】C  【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=70°， ∴∠C=110°， 故选：C． 根据圆内接四边形的性质计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB=80°， ∴∠C=12∠AOB=40°． 故选：B． 根据圆周角定理即可求解． 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键． 5.【答案】C  【解析】解：根据二次函数图象的性质， ∵开口向下， ∴a<0， ∵对称轴x=-b2a>0， ∴b>0， 所以C选项符合题意． 故选：C． 由于开口向下可以判断a<0，由于对称轴x=-b2a>0，可以得到b>0，所以可以找到结果． 本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象和系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 6.【答案】D  【解析】解：设共有x支队伍参加比赛， 依题意得：x(x-1)2=45， 故选：D． 设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数=参赛球队数量×(参赛球队数量-1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】x=±1  【解析】解：移项得x2=1，