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2022-2023学年福建省宁德市霞浦县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A． B．3.1415926 C． D．
2．下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x2 D．
3．已知三角形三边的长分别为3、2、，则该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．在如图所示的数轴上，表示无理数的点在A、B两个点之间，则数m不可能是（ ）
A．10 B．7 C．6 D．5
8．已知A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），则下面结论中正确的是（ ）
A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3
C．点B到x轴距离是1 D．AB∥y轴
9．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
10．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝4，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d＝3，乙答：d≥4，丙答：d＝，则正确的是（ ）
A．只有乙答的对
B．乙、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
11．9的算术平方根是 ．
12．比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
13．已知点A（m﹣2，2m+7），点B（1，5），直线AB∥x轴，则m的值是 ．
14．小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的函数关系式为 ．
15．将一根18cm的筷子，置于底面直径为12cm，高5cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的最小值是 ．
16．如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 （填写序号）．
①△ABC的形状是直角三角形；
②△ABC的周长是；
③点B到AC边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足S△BCD＝S△BCA，这样的D点有3个不同的位置．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知A（﹣1，4），B（﹣5，1），C（﹣3，5）．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1），作△DEF，使得△DEF与△ABC关于y轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为D，E，F；
（2）写出F的坐标 ，S△ABC＝ ．
19．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：
甲：＝＝，乙：＝＝．
（1）甲、乙两种变形过程正确的是 ；
A．甲乙都正确
B．甲乙都不正确
C．只有乙正确
D．只有甲正确
（2）化简：．
20．某家政服务公司选派20名清洁工去打扫民宿的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫8个大房间或12个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为50元，清扫一个小房间工钱为30元．
（1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）应该怎样安排这20名清洁工清扫一天，才能为该家政服务公司收入7800元．
21．平面直角坐标系中，点M的坐标为（m+2，m），点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（1，0）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断△ABM的形状并证明．
22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ；
（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离CD＝2m，DB＝1m，求绳索AC的长．
23．在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x+my，mx+y）（其中m为常数，且m≠0），则称点B是点A的“m级共享点”．例如：点A（1，2）的“3级共享点”B的坐标为（1+3×2，3×1+2），即B（7，5）．
（1）点（2，0）的“2级共享点”的坐标为 ；
（2）若点A（2，a）的“5级共享点”B的坐标是（﹣3，b），求出a，b的值；
（3）若点A（0，y）（其中y≠0），点A的“m级共享点”为点B，且AB＝OA，求m的值．
24．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
（1）利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
（2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，∠AED＝∠ACB＝90°，求证（1）中的定理结论；
（3）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A． B．3.1415926 C． D．
【分析】根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、是无理数，符合题意；
B、3.1415926是分数，故是有理数，不符合题意；
C、是分数，故是有理数，不符合题意；
D、＝2，2是有理数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x2 D．
【分析】根据正比例函数的的定义解答即可．
解：A、y＝是正比例函数，故此选项、符合题意；
B、y＝﹣2x+1是一次函数，但不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝2x2是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
3．已知三角形三边的长分别为3、2、，则该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【分析】两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．
解：∵22+（）2＝32，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
5．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的加减法对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
解：A． ＝7，所以A选项不符合题意；
B． （﹣）2＝3，所以B选项不符合题意；
C．2﹣＝，所以C选项不符合题意；
D． ×＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
6．下列各式化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论．
解：A、＝与不能合并，故不符合题意；
B、＝3与不能合并，故不符合题意；
C、＝3与能合并，故符合题意；
D、＝4与不能合并，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
7．在如图所示的数轴上，表示无理数的点在A、B两个点之间，则数m不可能是（ ）
A．10 B．7 C．6 D．5
【分析】根据无理数的取值范围确定m的取值范围即可．
解：∵表示无理数的点在A、B两个点之间，
∴2＜＜3，
∴4＜m＜9，
∴10不在以上范围内，
故选：A．
【点评】本题考化成了实数与数轴及无理数的知识，解题的关键是根据无理数的取值范围确定有理数m的取值范围，难度不大．
8．已知A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），则下面结论中正确的是（ ）
A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3
C．点B到x轴距离是1 D．AB∥y轴
【分析】直接利用点的坐标意义结合两个点的横坐标相同，纵坐标符号不同，进而分析得出答案．
解：A．A，B两点关于x轴对称，故此选项不合题意；
B．点A到y轴距离是1，故此选项不合题意；
C．点B到x轴距离是3，故此选项不合题意；
D．AB∥y轴，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
9．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用已知点位置得出符合题意的答案．
解：如图所示：原点是B点时，A，C关于y轴对称，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出原点位置是解题关键．
10．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝4，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d＝3，乙答：d≥4，丙答：d＝，则正确的是（ ）
A．只有乙答的对
B．乙、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【分析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．
解：由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，
①当CA⊥BA时，
∵∠B＝45°，BC＝4，
∴AC＝BC•sin45°＝4×＝2，
即此时d＝2，
②
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